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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 So 04.02.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Bastiane,
> Diesmal folgendes Integral:
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> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\:dx=\pi\delta_{mn}[/mm]
>
> Nach einem Additionstheorem gilt doch:
>
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\:dx=\br{1}{2}\integral_{-\pi}^{\pi}\cos(x(m-n))\:dx-\br{1}{2}\integral_{-\pi}^{\pi}\cos(x(m+n))\:dx=[\br{\sin(x(m-n))}{m-n}]_0^{\pi}+[\br{\sin(x(m+n))}{m+n}]_0^{\pi}[/mm]
>
> Nun ist doch aber der Sinus von Vielfachen von [mm]\pi[/mm] gleich
> 0, also stehen da überall nur Nullen und somit ist das
> ganze Integral =0!?
>
> Wo ist mein Fehler??
Kein Fehler, nur hast Du so nur den Fall [mm] $m\not=n$ [/mm] betrachtet, denn das letzte Gleichheitszeichen gilt natürlich nicht für $m=n$.
Falls $m=n$, ist das Integral wie angegeben [mm] $\pi$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Bastiane!
> Hallo nochmal! 
>
> Diesmal folgendes Integral:
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> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\:dx=\pi\delta_{mn}[/mm]
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> Nach einem Additionstheorem gilt doch:
>
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\:dx=\br{1}{2}\integral_{-\pi}^{\pi}\cos(x(m-n))\:dx-\br{1}{2}\integral_{-\pi}^{\pi}\cos(x(m+n))\:dx=[\br{\sin(x(m-n))}{m-n}]_0^{\pi}+[\br{\sin(x(m+n))}{m+n}]_0^{\pi}[/mm]
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Stammfunktion stimmt soweit ich das überblicke.
> Nun ist doch aber der Sinus von Vielfachen von [mm]\pi[/mm] gleich
> 0, also stehen da überall nur Nullen und somit ist das
> ganze Integral =0!?
Der Sinus von ganzzahligen [mm] \pi [/mm] ist mit Sicherheit gleich Null. Ich denke es kommt nun entscheidend auf den Definitionsbereich von m und n um weiter zu argumentieren. Sofern mit m-n und m+n auch nicht ganzzahlige Ergebnisse gebildet werden können, sollte auch das (m-n)-fache bzw. (m+n)-fache von [mm] \pi [/mm] ungleich Null sein. Wenn z.B. m-n=0,5 ist, dann wäre der [mm] sin(0,5\pi) [/mm] gesucht, der sich ja bekanntlich zu 1 ergibt.
Soweit meine Idee dazu. Vielleicht kannst du ja was damit anfangen.
Gruß,
Tommy
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![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
Ich hatte tatsächlich den Fall $m=n$ total vergessen. Allerdings habe ich jetzt dafür direkt am Anfang ein anderes Additionstheorem angewendet - gestern abend dachte ich, man könnte es auch direkt sehen oder so?
