nochmal Eigenräume/-werte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Mo 09.02.2004 | | Autor: | nils |
Hi,
hab hier eine Aufgabe die ähnlich zu der von Alexis ist. Bin mir aber nicht sicher ob ich die so richtig gemacht hab oder was vergessen habe. Wäre nett wenn mal jemand drüber schauen könnte.
Also:
Sei [mm]V:=R^{nxn}[/mm] und [mm]\phi \in End V[/mm] definiert durch
[mm]\phi(A) = A^T, A \in V[/mm]
man beweise, dass [mm]\phi[/mm] diagonalisierbar ist. Man bestimme die Eigenwerte von [mm]\phi[/mm].
[mm]\phi(\phi(A)) = A[/mm]
erneut [mm]\phi[/mm] anwenden ergibt:
[mm]\phi(\phi(\phi(A))) = A^T[/mm]
somit ist [mm]\phi^3 - \phi = 0[/mm]
also [mm]X^3 - X = 0 = X(X-1)(X+1)[/mm]
somit sind 0, 1, -1 Kandidaten für die EW
sei [mm]M \in V[/mm]
EW 0 ?
somit müsste gelten [mm]\phi(M) = 0* M[/mm]
das gilt nur wenn M die Nullmatrix ist, daher ist 0 kein EW
EW 1
es muss gelten [mm]\phi(M) = M[/mm] also [mm]M^T = M[/mm]
dies gilt nur bei Matrizen die im Erzeugniss von [mm]a_{i,i}[/mm] liegen mit [mm]a_{i,i} := [/mm] die Matrizen mit 1 an der Stelle i,i sonst 0
EW -1
es muss gelten [mm]\phi(M) = -M[/mm] also [mm]M^T = -M[/mm]
dies gilt nur bei Matrizen die im Erzeugnis von [mm]b_{i,i}[/mm] liegen mit [mm]b_{i,i} := [/mm] 1 an der Stelle i,i und -1 an der Stelle n-i,n-i sonst alles 0
somit sind 1 und -1 EW von [mm]\phi[/mm]
und [mm](X-1)(X+1)[/mm] ist das Minimalpolynom
ausserdem ist [mm]\phi[/mm] diagonalisierbar, da das Minimapolynom in paarweise verscheidene Linerafaktoren zerfällt.
Nils
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mo 09.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hi Nils!
Sorry, ich habe zwei Fehler übersehen (war davon ausgegangen, dass du dir meine Antwort bei Alexis durchgelesen hast):
> EW 1
>
> es muss gelten [mm]\phi(M) = M[/mm] also [mm]M^T = M[/mm]
> dies gilt nur bei
> Matrizen die im Erzeugniss von [mm]a_{i,i}[/mm] liegen mit [mm]a_{i,i} :=[/mm]
> die Matrizen mit 1 an der Stelle i,i sonst 0
Das würde heißen, es muss eine 1 auf der Diagonalen liegen. Es sind aber auch Matrizen im Erzeugnis, die zwei 1en haben, an der Stelle ij und ji.
> EW -1
>
> es muss gelten [mm]\phi(M) = -M[/mm] also [mm]M^T = -M[/mm]
> dies gilt nur
> bei Matrizen die im Erzeugnis von [mm]b_{i,i}[/mm] liegen mit
> [mm]b_{i,i} :=[/mm] 1 an der Stelle i,i und -1 an der Stelle n-i,n-i
> sonst alles 0
Das stimmt überhaupt nicht! Es muss für i ungleich j an der Stelle ij (i<j)eine 1 und an der Stelle ji eine -1 stehen (und 0en sonst).
Klar? Bitte noch mal meine Antwort bei Alexis durchlesen!
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Mo 09.02.2004 | | Autor: | nils |
Hi Stefan,
ich wusste da war irgendwo ein Hacken... ;)
> > EW 1
> >
> > es muss gelten [mm]\phi(M) = M[/mm] also [mm]M^T = M[/mm]
> > dies gilt
> nur bei
> > Matrizen die im Erzeugniss von [mm]a_{i,i}[/mm] liegen mit [mm]a_{i,i} :=[/mm]
>
> > die Matrizen mit 1 an der Stelle i,i sonst 0
>
> Das würde heißen, es muss eine 1 auf der Diagonalen liegen.
> Es sind aber auch Matrizen im Erzeugnis, die zwei 1en
> haben, an der Stelle ij und ji.
ja natürlich... ich bin nur davon ausgegangen das die 1en nur auf der Diagonalen sein können, aber Matrizen wie
[mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm] oder [mm]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm] erfüllen ja auch die Bedingung [mm] M^T = M[/mm]
> > EW -1
> >
> > es muss gelten [mm]\phi(M) = -M[/mm] also [mm]M^T = -M[/mm]
> > dies gilt
> nur
> > bei Matrizen die im Erzeugnis von [mm]b_{i,i}[/mm] liegen mit
> > [mm]b_{i,i} :=[/mm] 1 an der Stelle i,i und -1 an der Stelle
> n-i,n-i
> > sonst alles 0
>
> Das stimmt überhaupt nicht! Es muss für i ungleich j an der
> Stelle ij (i<j)eine 1 und an der Stelle ji eine -1 stehen
> (und 0en sonst).
Ja, auch klar... bei mir ist ja [mm]M^T = M[/mm] und nicht gleich [mm]-M[/mm].. beim Transponieren bleiben die Elemente auf der Diagonalen ja gerade an den Stellen erhalten, nur die anderen spiegeln sich an der Diagonalen...
Ok, jetzt ists mir klar denke ich.
Vielen Dank
Nils
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mo 09.02.2004 | | Autor: | nils |
Eine EV Basis von V mit n=2 wäre also z.b.
[mm]<\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}>[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mo 09.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nils,
ist [mm]V[/mm] bei dir der Eigenraum zu [mm]1[/mm]?
Es ist in jedem Fall leider falsch. 
Es gilt stattdessen:
[mm]Eig_1(\varphi) = < \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) , \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) , \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\1 & 0 \end{array} \right) >[/mm]
und
[mm]Eig_{-1}(\varphi) = < \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) >[/mm].
Oder meintest du das?
Sorry, aber dann war es nicht gut zu erkennen, weil alles in einem Erzeugnis stand.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Mo 09.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Okay,
ich sehe gerade: [mm]V[/mm] war der ganze Matrizenraum in der Aufgabenstellung. Dann war es natürlich richtig. Sorry!
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Mo 09.02.2004 | | Autor: | nils |
Hehe, prima.
Vielen Dank auch für die Hilfe!
So, für heute Mathe ist bei mir mal Schluß mit Mathe, davon bekomm ich morgen noch genug in der Klausur.
Schönen Abend
Nils
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Mo 09.02.2004 | | Autor: | nils |
Hallo Stefan,
>
> ist [mm]V[/mm] bei dir der Eigenraum zu [mm]1[/mm]?
>
> Es ist in jedem Fall leider falsch.
Nein, [mm]V = \IR^{nxn}[/mm] also hier der VR der 2x2 Matrizen.
Das war Teil b) der Aufgabe, da sollte man eine Basis zu V suchen, die aus EV von [mm]\phi[/mm] besteht. Daher sollte meine Basis richtig sein.
Sorry, hatte ich jetzt nicht so direkt dazugeschrieben.
Viele Grüße
Nils
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Mo 09.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hi Nils,
ja das hatte ich gerade auch gemerkt. Entschuldige bitte nochmals!
Alles korrekt jetzt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Di 10.02.2004 | | Autor: | nils |
Hallo, noch eine kurze Frgae hab ich...
> [...]
> somit ist [mm]\phi^3 - \phi = 0[/mm]
>
> also [mm]X^3 - X = 0 = X(X-1)(X+1)[/mm]
>
> somit sind 0, 1, -1 Kandidaten für die EW
kann ich hier schon schliessen das [mm]\phi[/mm] diagonalisierbar ist, da die lienarfaktoren ja alle paarweise verschieden sind und somit im Minpol die LF auch alle paarweise verscheiden sein müssen (da ja nix mehr dazukommen kann, sondern nur was wegfallen kann)
Nils
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Di 10.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nils,
> kann ich hier schon schliessen das [mm]\phi[/mm] diagonalisierbar
> ist, da die lienarfaktoren ja alle paarweise verschieden
> sind und somit im Minpol die LF auch alle paarweise
> verscheiden sein müssen (da ja nix mehr dazukommen kann,
> sondern nur was wegfallen kann)
Ja, kannst du! Und du hast auch richtig argumentiert!
Es gilt schließlich der Satz:
Ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen K_Vektorraumes ist genau dann diagonalisierbar, wenn sein Minmalpolynom über K in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.
Da nun das Minimalpolynom notwendigerweise ein Teiler von [mm]P(X)=X\cdot(X-1) \cdot (X+1) [/mm] sein muss, folgt - wie von dir richtig geschrieben - die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
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