normale Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] \IQ \subset \IQ(i, \wurzel{3}, \wurzel[3]{2}) [/mm] ist eine Normale Körpererweiterung |
Hallo liebe MatheRaum Gemeinde,
Also meine Überlegung, ich weiß das die Körpererweiterung endlich ist, also muss ich das Minimalpolynom p(x) aufstellen und überprüfen ob die Nullstellen in [mm] \IQ(i, \wurzel{3}, \wurzel[3]{2}) [/mm] liegen richtig? Außerdem muss ich noch zeigen, dass dieses Polynom das kleinste irreduzible Polynom ist das in Linearfaktoren zerfällt.
Als Minimalpolynom (und hier bin ich mir schon unsicher!) habe ich dann raus: [mm] (x^{3}-2)(x^{2}-3)(x-i) [/mm] = [mm] x^{7}+ix^{6}-3x^{4}-3ix^{3}-2x^{3}-2ix^{2}+6x-6i
[/mm]
Die Nullstellen wären dann auf jeden Fall:
[mm] \pm \wurzel{3}
[/mm]
i
[mm] \wurzel[3]{2}
[/mm]
Sind das schon alle Nullstellen? Und ist es nicht logisch, dass diese in der Menge liegen?
Es wäre wirklich super nett wenn mir jemand helfen könnte. Leider steige ich in diesem Bereich wie man merkt noch nicht ganz durch. Ich hoffe aber, dass klar geworden ist, wo meine Probleme liegen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 06.01.2013 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie: [mm]\IQ \subset \IQ(i, \wurzel{3}, \wurzel[3]{2})[/mm]
> ist eine Normale Körpererweiterung
>
> Hallo liebe MatheRaum Gemeinde,
>
> Also meine Überlegung, ich weiß das die
> Körpererweiterung endlich ist, also muss ich das
> Minimalpolynom p(x) aufstellen und überprüfen ob die
> Nullstellen in [mm]\IQ(i, \wurzel{3}, \wurzel[3]{2})[/mm] liegen
> richtig? Außerdem muss ich noch zeigen, dass dieses
> Polynom das kleinste irreduzible Polynom ist das in
> Linearfaktoren zerfällt.
Wie genau lautet die Definition einer normalen Koerpererweiterung bzw. welchen Satz moechtest Du hier anwenden? Ich ahne, was Du vorhast, und es macht auch Sinn, aber Du solltest Dir ueber die Fragen, die ich gestellt habe Klarheit verschaffen.
> Als Minimalpolynom (und hier bin ich mir schon unsicher!)
> habe ich dann raus: [mm](x^{3}-2)(x^{2}-3)(x-i)[/mm] =
> [mm]x^{7}+ix^{6}-3x^{4}-3ix^{3}-2x^{3}-2ix^{2}+6x-6i[/mm]
Das Polynom, das Du benoetigst, muesste Koeffizienten aus [mm] $\IQ$ [/mm] haben; der dritte Faktor ist also unguenstig von Dir gewaehlt.
>
> Die Nullstellen wären dann auf jeden Fall:
> [mm]\pm \wurzel{3}[/mm]
> i
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm]
> Sind das schon alle Nullstellen? Und ist es nicht logisch,
> dass diese in der Menge liegen?
>
> Es wäre wirklich super nett wenn mir jemand helfen
> könnte. Leider steige ich in diesem Bereich wie man merkt
> noch nicht ganz durch. Ich hoffe aber, dass klar geworden
> ist, wo meine Probleme liegen!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Definition einer normalen Körpererweiterung: Sei K [mm] \subset [/mm] L eine Körpererweiterung, so dass jedes irreduzible Polynom f [mm] \in [/mm] K[x] mit einer Nullstelle in L über L in Linearfaktoren zerfällt. Dann heißt die Erweiterung normal.
welchen Satz ich anwenden möchte ist eine gute Frage^^ ich habe mich hier im Matheraum ein wenig durchgeklickt und geguckt wie es bei anderen Aufgaben gemacht wurde^^ Den einzigen Satz den ich damit in Verbindung bringen könnte wäre dieser:
Sei K [mm] \subset [/mm] L eine endliche Körpererweiterung. Dann ist K [mm] \subset [/mm] L genau dann normal, wenn es ein Polynom f [mm] \in [/mm] K[x] gibt, so dass L Zerfällungskörper von f über K ist.
Der Satz würde zumindest auch erklären warum es ein Polynom aus [mm] \IQ [/mm] sein muss und womit folglich meins falsch ist...
Aber wie genau komme ich den jetzt an das Minimalpolynom? Könnte ich dann [mm] (x^{3}-2)(x^{2}-3)(x^{2}-\wurzel{1}) [/mm] wählen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 So 06.01.2013 | | Autor: | ChrisHeidi |
Natürlich müsste es [mm] (x^{3}-2)(x^{2}-3)(x^{2}+\wurzel{1}) [/mm] sein. Und die Nullstellen wären dann dem enstsprechend:
[mm] \wurzel[3]{2}
[/mm]
[mm] \pm \wurzel{2}
[/mm]
i
Soweit richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 06.01.2013 | | Autor: | hippias |
> Definition einer normalen Körpererweiterung: Sei K [mm]\subset[/mm]
> L eine Körpererweiterung, so dass jedes irreduzible
> Polynom f [mm]\in[/mm] K[x] mit einer Nullstelle in L über L in
> Linearfaktoren zerfällt. Dann heißt die Erweiterung
> normal.
Dieses Kriterium duerfte bei einem konkreten Beipsiel nur sehr schwierig zu ueberpruefen sein...
>
> welchen Satz ich anwenden möchte ist eine gute Frage^^ ich
> habe mich hier im Matheraum ein wenig durchgeklickt und
> geguckt wie es bei anderen Aufgaben gemacht wurde^^ Den
> einzigen Satz den ich damit in Verbindung bringen könnte
> wäre dieser:
> Sei K [mm]\subset[/mm] L eine endliche Körpererweiterung. Dann ist
> K [mm]\subset[/mm] L genau dann normal, wenn es ein Polynom f [mm]\in[/mm]
> K[x] gibt, so dass L Zerfällungskörper von f über K
> ist.
... da ist dieser Satz schon viel praktischer!
>
> Der Satz würde zumindest auch erklären warum es ein
> Polynom aus [mm]\IQ[/mm] sein muss und womit folglich meins falsch
> ist...
> Aber wie genau komme ich den jetzt an das Minimalpolynom?
> Könnte ich dann [mm](x^{3}-2)(x^{2}-3)(x^{2}-\wurzel{1})[/mm]
> wählen?
Ja, natuerlich, wie von Dir bemerkt, mit dem + hinten. Uebrigens, was ist denn [mm] $\sqrt{1}$? [/mm] 
Die Schwierigkeit wird eventuell sein, die dritten Einheitswurzel in dem Koerper zu finden.
|
|
|
| |
|
Ok so weit so gut :) Danke schon einmal bis hierhin...
Also dann habe ich natürlich die Nullstellen:
[mm] \wurzel[3]{2}
[/mm]
[mm] \pm \wurzel{2}
[/mm]
i
Aber wie mach ich dann weiter?
Ich muss noch die irreduziblität zeigen und das es eben das kleinste ist das in Linearfaktoren zerfällt oder? Wie geh ich das an?
PS: [mm] \wurzel{1}=1 [/mm] :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 06.01.2013 | | Autor: | hippias |
Nein, es genuegt, dass es ein Zerfaellungskoerper irgendeines Polynoms ist, also sind Irreduzibilitaet oder aehnliches nicht notwendig.
Deine Nullstellenmenge ist aber nicht vollstaendig: auch [mm] $e^{i\frac{2\pi}{3}}\sqrt[3]{2}$ [/mm] ist z.B. Nullstelle Deines Polynomes (und es gibt auch nur noch eine weitere). Und damit kommen wir zum eigentlichen Problem: Da der Zerfaellungskoerper von saemtlichen Nullstellen erzeugt wird, Dein Koerper aber erst einmal auf den ersten Blick nur die von Dir genannten Nullstellen enthaelt, musst Du Dir ueberlegen, dass er auch die obige Nullstelle enthaelt.
Dazu genuegt es doch einzusehen, dass [mm] $e^{i\frac{2\pi}{3}}$ [/mm] enthalten ist?! Versuche Dir dies klarzumachen.
|
|
|
| |
|
Ohh klar fehlen da noch welche... aber fehlen jetzt nicht noch 2? Oben hatte ich 4, dann die eine von dir aber müssten ja 7 sein oder?
Also:
[mm] \pm \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \pm [/mm] i
[mm] \wurzel[3]{2}
[/mm]
[mm] -\wurzel[3]{-2}
[/mm]
[mm] e^{i\frac{2\pi}{3}}\wurzel[3]{2}
[/mm]
oder? Und jetzt muss ich nur noch zeigen dass [mm] e^{i\frac{2\pi}{3}} [/mm] enthalten ist? Weil der Rest sollte ja klar sein oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Mo 07.01.2013 | | Autor: | hippias |
Deine siebente Nullstelle stimmt nicht.
> Ohh klar fehlen da noch welche... aber fehlen jetzt nicht
> noch 2? Oben hatte ich 4, dann die eine von dir aber
> müssten ja 7 sein oder?
>
> Also:
> [mm]\pm \wurzel{3}[/mm]
> [mm]\pm[/mm] i
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm]
> [mm]-\wurzel[3]{-2}[/mm]
> [mm]e^{i\frac{2\pi}{3}}\wurzel[3]{2}[/mm]
> oder? Und jetzt muss ich nur noch zeigen dass
> [mm]e^{i\frac{2\pi}{3}}[/mm] enthalten ist? Weil der Rest sollte ja
> klar sein oder?
Wenn es Dir klar ist, ist alles in Ordnung. Du kannst Deine Loesung ja hier mitteilen, wenn Du doch noch unsicher bist.
|
|
|
|
