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Hallo :)
Mir ist eine Parametergleichung gegeben,
[mm] E:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] +r [mm] \vektor{-1 \\ 1\\ 2}+ [/mm] s [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
zu der ich eine Normalgleichung der Ebene aufstellen soll.
Ich habe bereits die bedingungen aufgestellt und die gleichungen.
Nun kam ich auf:
III (I+II): x+3y+2z= 0
Wie muss ich hier weiter vorgehen?
Bisher ist mir nur der Vorgang bekannt, wo wir bei der 3.Gleichung nur 2 unbekannte Variablen haben.
Gruß,
Muellermilch
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Hallo Muellermilch,
> Hallo :)
> Mir ist eine Parametergleichung gegeben,
> [mm]E:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] +r [mm]\vektor{-1 \\ 1\\ 2}+[/mm]
> s [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> zu der ich eine Normalgleichung der
> Ebene aufstellen soll.
>
> Ich habe bereits die bedingungen aufgestellt und die
> gleichungen.
> Nun kam ich auf:
>
> III (I+II): x+3y+2z= 0
>
Das ist nicht die Gleichung in Koordinatenform der obigen Ebene.
Poste doch die Gleichungen (I)-(III)
> Wie muss ich hier weiter vorgehen?
> Bisher ist mir nur der Vorgang bekannt, wo wir bei der
> 3.Gleichung nur 2 unbekannte Variablen haben.
>
>
> Gruß,
> Muellermilch
Gruss
MathePower
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> Hallo Muellermilch,
>
> > Hallo :)
> > Mir ist eine Parametergleichung gegeben,
> > [mm]E:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] +r [mm]\vektor{-1 \\ 1\\ 2}+[/mm]
> > s [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> > zu der ich eine
> Normalgleichung der
> > Ebene aufstellen soll.
> >
> > Ich habe bereits die bedingungen aufgestellt und die
> > gleichungen.
> > Nun kam ich auf:
> >
> > III (I+II): x+3y+2z= 0
> >
I. : -x+y+2z= 0
II.: 2x+2y= 0
I+II=III: x+3y+2z=0
>
> Das ist nicht die Gleichung in Koordinatenform der obigen
> Ebene.
>
> Poste doch die Gleichungen (I)-(III)
>
>
> > Wie muss ich hier weiter vorgehen?
> > Bisher ist mir nur der Vorgang bekannt, wo wir bei der
> > 3.Gleichung nur 2 unbekannte Variablen haben.
> >
> >
> > Gruß,
> > Muellermilch
>
>
> Gruss
> MathePower
gruß,
Muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo Muellermilch,
> >
> > > Hallo :)
> > > Mir ist eine Parametergleichung gegeben,
> > > = [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm] +r [mm]E:\vec{x}[/mm][mm]\vektor{-1 \\
1\\
2}+[/mm]
> > > s [mm]\vektor{2 \\
2 \\
0}[/mm]
> > > zu der ich eine
> > Normalgleichung der
> > > Ebene aufstellen soll.
> > >
> > > Ich habe bereits die bedingungen aufgestellt und die
> > > gleichungen.
> > > Nun kam ich auf:
> > >
> > > III (I+II): x+3y+2z= 0
> > >
> I. : -x+y+2z= 0
> II.: 2x+2y= 0
>
> I+II=III: x+3y+2z=0
Wie kommst du denn darauf?
Du hast:
[mm] $E:\vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\1\\1}+r\cdot\vektor{-1\\1\\2}+s\cdot\vektor{2\\2\\0}$
[/mm]
Das ergibt folgendes Gleichungssystem:+
[mm] \vmat{x=1-r+2s\\y=1+r+2s\\z=1+2r}
[/mm]
Rechne nun I-II
[mm] \vmat{x=1-r+2s\\x-y=-2r\\z=1+2r}
[/mm]
Nun II+III
[mm] \vmat{x=1-r+2s\\x-y=-2r\\(x-y)+z=1}
[/mm]
In der letzten Gleichung hast du nun eine Gleichung ohne die Parameter r und s der Ebene. Diese kannst du nun als Koordinatenform nehmen.
Marius
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> > > Hallo Muellermilch,
> > >
> > > > Hallo :)
> > > > Mir ist eine Parametergleichung gegeben,
> > > > = [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm] +r [mm]E:\vec{x}[/mm][mm]\vektor{-1 \\
1\\
2}+[/mm]
> > > > s [mm]\vektor{2 \\
2 \\
0}[/mm]
> > > > zu der ich eine
> > > Normalgleichung der
> > > > Ebene aufstellen soll.
> > > >
> > > > Ich habe bereits die bedingungen aufgestellt und die
> > > > gleichungen.
> > > > Nun kam ich auf:
> > > >
> > > > III (I+II): x+3y+2z= 0
> > > >
> > I. : -x+y+2z= 0
> > II.: 2x+2y= 0
> >
> > I+II=III: x+3y+2z=0
>
> Wie kommst du denn darauf?
>
Nach dem Schema!
Nach dem Schema soll das auch gemacht werden
> Du hast:
>
> [mm]E:\vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\1\\1}+r\cdot\vektor{-1\\1\\2}+s\cdot\vektor{2\\2\\0}[/mm]
>
> Das ergibt folgendes Gleichungssystem:+
>
> [mm]\vmat{x=1-r+2s\\y=1+r+2s\\z=1+2r}[/mm]
>
> Rechne nun I-II
>
> [mm]\vmat{x=1-r+2s\\x-y=-2r\\z=1+2r}[/mm]
>
> Nun II+III
>
> [mm]\vmat{x=1-r+2s\\x-y=-2r\\(x-y)+z=1}[/mm]
>
> In der letzten Gleichung hast du nun eine Gleichung ohne
> die Parameter r und s der Ebene. Diese kannst du nun als
> Koordinatenform nehmen.
>
> Marius
>
Muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist aber extrem ungünstig, für die Komponenten des Normalenvektors x y un z zu nehmen, da diese eigentlich auch schpn in [mm] \vec{x} [/mm] stecken.
Nennen wir den Normalenvektor mal [mm] \vec{n}=\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\perp\vektor{-1\\1\\2}
[/mm]
Also:
[mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\cdot\vektor{-1\\1\\2}=0
[/mm]
Also
[mm] -n_{1}+n_{2}+2n_{3}=0
[/mm]
Außerdem:
[mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\perp\vektor{2\\2\\0}
[/mm]
Also:
[mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\cdot\vektor{2\\2\\0}=0
[/mm]
Also
[mm] 2n_{1}+2n_{2}=0
[/mm]
Also bekommst du folgendes unterbestimmtes Gleichungssystem:
[mm] \vmat{-n_{1}+n_{2}+2n_{3}=0\\2n_{1}+2n_{2}=0}
[/mm]
Marius
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> Hallo
>
> Das ist aber extrem ungünstig, für die Komponenten des
> Normalenvektors x y un z zu nehmen, da diese eigentlich
> auch schpn in [mm]\vec{x}[/mm] stecken.
>
> Nennen wir den Normalenvektor mal
> [mm]\vec{n}=\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}[/mm]
>
> Dann gilt:
> [mm]\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\perp\vektor{-1\\1\\2}[/mm]
> Also:
> [mm]\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\cdot\vektor{-1\\1\\2}=0[/mm]
> Also
> [mm]-n_{1}+n_{2}+2n_{3}=0[/mm]
>
> Außerdem:
> [mm]\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\perp\vektor{2\\2\\0}[/mm]
> Also:
> [mm]\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\cdot\vektor{2\\2\\0}=0[/mm]
> Also
> [mm]2n_{1}+2n_{2}=0[/mm]
>
> Also bekommst du folgendes unterbestimmtes
> Gleichungssystem:
> [mm]\vmat{-n_{1}+n_{2}+2n_{3}=0\\2n_{1}+2n_{2}=0}[/mm]
genau, und das wäre aber, wenn ich das mit x y und z schreibe:
-x+y+2z=0
2x+2y = 0
Aber nun mit den [mm] n_{1} [/mm] , [mm] n_{2} [/mm] und [mm] n_{3}.. [/mm]
soweit bin ich ja nun auch schon gekommen:
[mm] n_{1} [/mm] + [mm] 3n_{2} [/mm] + [mm] 2n_{3} [/mm] =0
Was muss aber nun getan werden?
> Marius
>
Gruß,
Muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast
I. : -x+y+2z= 0
II.: 2x+2y= 0 jetzt wähle eines der variablen fest also etwa x=1 daraus folgt y=-1 aus II
damit aus I -1-1+2z=0 z=1 und du hast einen Normalenvektor [mm] \vektor{1\\-1\\1}
[/mm]
oder du wählst x=c dann hast du [mm] \vektor{c\\-c\\c}
[/mm]
(natürlich kannst du genausogut y oder z wählen,)
Bitte verkleinere deine Bilder, damit sie nicht das normale fenster überschreiten!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 So 13.11.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Müllermilch!
Dies Behauptung, dass Du der Urheber dieses Anhangs bist, halt ich schon für gewagt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Normalenform kannst du auch recht elegant über das Kreuz- oder Vektorprodukt ermitteln, sofern ihr das schon hattet.
Als einen Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] kannst du nämlich auch das Ergebnis des Kreuzproduktes der Spannvektoren nehmen, also hier:
[mm] \vec{n}=\vektor{-1\\1\\2}\times\vektor{2\\2\\0}=\ldots
[/mm]
Damm gilt:
[mm] E:\left[\vektor{x\\y\\z}-\vektor{1\\1\\1}\right]\cdot\overbrace{\left(\vektor{-1\\1\\2}\times\vektor{2\\2\\0}\right)}^{=\vec{n}}=0
[/mm]
Marius
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> Hallo
>
> Die Normalenform kannst du auch recht elegant über das
> Kreuz- oder Vektorprodukt ermitteln, sofern ihr das schon
> hattet.
Das hatten wir noch nicht.
> Als einen Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] kannst du nämlich auch
> das Ergebnis des Kreuzproduktes der Spannvektoren nehmen,
> also hier:
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{-1\\1\\2}\times\vektor{2\\2\\0}=\ldots[/mm]
>
> Damm gilt:
>
> [mm]E:\left[\vektor{x\\y\\z}-\vektor{1\\1\\1}\right]\cdot\overbrace{\left(\vektor{-1\\1\\2}\times\vektor{2\\2\\0}\right)}^{=\vec{n}}=0[/mm]
Bis her haben wir das nur mit dem geposteten Schema gemacht.
> Marius
>
Gruß,
Muellermilch
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