normalverteilte ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 So 04.07.2010 | | Autor: | emil789 |
| Aufgabe | Es sind [mm] X_1,...X_n [/mm] unabhängige gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen, die als Varianzen haben: [mm] \delta^{2}_k [/mm] := [mm] V(X_k)\ge [/mm] 0 haben. Es gibt Zahlen [mm] \alpha_k [/mm] und [mm] \beta_k [/mm] mit [mm] \summe_{i=1}^{n}\delta^{2}_i \alpha_i \beta_i [/mm] =0. Zeigen Sie: die ZV [mm] X:=\summe_{i=1}^{n}\alpha_k X_k [/mm] und
[mm] Y:=\summe_{i=1}^{n}\beta_k X_k [/mm] unabhängig sind. |
Hi,
was bedeutet denn "unabhängig gemeinsam normalverteilt" mathematisch?
Grüße, emil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 So 04.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Es sind [mm]X_1,...X_n[/mm] unabhängige gemeinsam normalverteilte
> Zufallsvariablen, die als Varianzen haben: [mm]\delta^{2}_k[/mm] :=
> [mm]V(X_k)\ge[/mm] 0 haben. Es gibt Zahlen [mm]\alpha_k[/mm] und [mm]\beta_k[/mm] mit
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\delta^{2}_i \alpha_i \beta_i[/mm] =0. Zeigen
> Sie: die ZV [mm]X:=\summe_{i=1}^{n}\alpha_k X_k[/mm] und
> [mm]Y:=\summe_{i=1}^{n}\beta_k X_k[/mm] unabhängig sind.
> Hi,
> was bedeutet denn "unabhängig gemeinsam normalverteilt"
> mathematisch?
Die ZVn sind unabhängig und ihre gemeinsame Verteilung ist eine mehrdimensionale Normalverteilung.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 04.07.2010 | | Autor: | emil789 |
Da X und Y i durchlaufen muss ich wohl anstelle von [mm] \alpha_k [/mm] und [mm] \beta_k [/mm] irgendwas einsetzen, in dem i vorkommt?Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 04.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Da X und Y i durchlaufen muss ich wohl anstelle von
> [mm]\alpha_k[/mm] und [mm]\beta_k[/mm] irgendwas einsetzen, in dem i
> vorkommt?Stimmt das?
Ich vermute, es handelt sich hier um Tippfehler, und es soll $X = [mm] \sum_{i=1}^n \alpha_i X_i$ [/mm] und $Y = [mm] \sum_{i=1}^n \beta_i X_i$ [/mm] heissen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 04.07.2010 | | Autor: | emil789 |
Ach so...oder k als Laufindex,nicht?(die Zahlen waren zuerst mit [mm] \alpha_k [/mm] und [mm] \beta_k [/mm] bezeichnet)
Hast du einen Ansatz?Ich muss sicher die Varianz bzw. den Erwartungswert nutzen ,um die Unabhängigkeit zu zeigen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ach so...oder k als Laufindex,nicht?(die Zahlen waren
> zuerst mit [mm]\alpha_k[/mm] und [mm]\beta_k[/mm] bezeichnet)
> Hast du einen Ansatz?Ich muss sicher die Varianz bzw. den
> Erwartungswert nutzen ,um die Unabhängigkeit zu zeigen?!
Da $X$ und $Y$ von der gleichen mehrdimensionalen Normalverteilung kommen (nichts anderes bedeutet "unabhaengig gemeinsam normalverteit"), reicht es aus zu zeigen, dass die Kovarianz von $X$ und $Y$ 0 ist. Also rechne doch mal $Cov(X, Y) = E((X - E(X)) (Y - E(Y))$ aus.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Mo 05.07.2010 | | Autor: | emil789 |
Hat das etwas damit zu tun, dass gilt: der Erwartungswert einer Linearkombi von ZV ist die LK der einzelnen EW?
Der EW der NV ist ja nicht so schön zu schreiben...kann ich das irgendwie vermeiden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hat das etwas damit zu tun, dass gilt: der Erwartungswert
> einer Linearkombi von ZV ist die LK der einzelnen EW?
Klar. Das ist eins der Hauptarbeitsmittel fuer Erwartungwerte.
> Der EW der NV ist ja nicht so schön zu schreiben...kann
> ich das irgendwie vermeiden?
Es geht, so schwer ist das auch wieder nicht. Du brauchst die Linearitaet und, dass fuer unabhaengige ZVen $A$ und $B$ gilt $E(A B) = E(A) E(B)$.
Das ganze geht uebrigens sehr schoen auf.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Mo 05.07.2010 | | Autor: | emil789 |
Also für den Erwartungswert der NV gilt doch
[mm] E(X)=1/sigma\wurzel[]{2\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{x exp((-(x-\mu)^{2})/(2sigma^2))}dx
[/mm]
und
[mm] E(Y)=1/sigma\wurzel[]{2\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{y exp((-(y-\mu)^{2})/(2sigma^2))}dy
[/mm]
Aber was löst sich da schön auf, wenn ich dies und das, was ich über X, Y weiss in deine Cov-Formel einsetze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also für den Erwartungswert der NV gilt doch
> [mm]E(X)=1/sigma\wurzel[]{2\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{x exp((-(x-\mu)^{2})/(2sigma^2))}dx[/mm]
>
> und
> [mm]E(Y)=1/sigma\wurzel[]{2\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{y exp((-(y-\mu)^{2})/(2sigma^2))}dy[/mm]
Warum so kompliziert? Du weisst doch, dass $E(X) = [mm] \sum_{i=1}^n \alpha_i E(X_i)$ [/mm] ist. Mehr brauchst du nicht. Wirklich nicht.
(Nur noch [mm] $Var(X_i) [/mm] = [mm] E(X_i^2) [/mm] - [mm] E(X_i)^2$.)
[/mm]
LG Felix
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