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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:13 Mo 22.11.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Bringen Sie die Matrix
A : = [mm] \vmat{ 3 & 2 & 19 & -1 & 5 \\ -2 & 1 & -15 & 4 & 15 \\ 4 & 2 & 26 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 6 & -1 & 2 }
[/mm]
mit Hilfe des Gaußalgorithmus in normierte Zeilenstufenform und bestimmen Sie aus dieser eine Basis des Kerns von A und eine Basis des Bildes von A. |
Hallo,
diesmal habe ich - nicht wie in meinen anderen Forendiskussionen - Verständnisprobleme, sondern ich würde gern wissen, ob es eine bestimmte Lösungsstrategie gibt, mit der man die Matrix in weniger Schritten in die NZSF bringt.
Also ich weiß, dass ich einzelne Zeilen multiplizieren kann mit einem Faktor, ich darf auch Zeilen vertauschen und ich darf linear kombinieren.
Und ich weiß auch, dass der Kopf bei einer NZSF immer 1 ist und darüber und dadrunter müssen Nullen sein (wobei ich mir mit dem "darunter" nicht ganz sicher bin). Und der Kopf in der darunter liegenden Zeile muss sich immer rechts von dem Kopf in der darüber liegenden Zeile befinden.
Und ich weiß auch, dass es unter einer Nullzeile keine Köpfe mehr gibt oder geben darf und dass nicht zwangsläufig die Nachbarspalte einen Kopf haben muss (sonst hätten wir ja eine Matrix mit lauter Nullen und in der Diagonalen wären Einsen).
Also das ist mir alles klar und das weiß ich auch!
Jetzt kommt das, womit ich widerum NICHTS anfangen kann:
Ich habe ja verschiedene "Quellen"... so nenne ich sie einfach mal. Tafelwerk, Skripte aus der Uni, Begleitmaterial vom Tutor, Wikipedia, das Informationsportal der Uni, etc. pp.
In den meisten Nachschlagewerken oder Übungsapplets ist es so beschrieben, dass es egal ist, ob ich zuerst Zeilen tausche oder doch lieber zuerst per Linearkombination rechne. Hauptsache ich halte mich an diese elementaren Operationen!
Ein Tipp unseres Tutors war: geeignete Zeilenvertauschungen erleichtern die Rechnung.
Nun habe ich aber in einem der Lösungsvorschläge (direkt auf der entsprechenden Seite von der Uni!!) Folgendes gelesen:
1. Dividiere jede Zeile durch ihren Kopf, sodass alle Köpfe gleich Eins sind.
2. Für jeden Kopf subtrahiere ein geeignetes Vielfaches seiner Zeile von allen darüber liegenden Zeilen, sodass über ihm nur Nullen stehen.#
Ich hab das mal mit der gegebenen Matrix versucht... kommt es mir nur als Blödsinn vor oder habe ich was falsch verstanden? Beim NZSF ist doch jeder Kopf gleich Eins - nicht wie bei der ZSF, wo der erste von Null verschiedene Wert der Kopf der Zeile ist.
Oder meinen die, ich soll jede Zeile durch die erste Zahl in der Zeile teilen, sodass ich quasi in der ersten Spalte der gesamten Matrix nur Einsen zu stehen habe? Oder ist da überhaupt was dran? Also muss ja, denn es kommt ja von der Uni, aber ich finde es so widersprüchlich.
Wenn ich die Übungen in den Applets mache, dann zeigt er mir zwar immer an, dass meine Rechnung an sich richtig ist, aber der Lösungsweg falsch. Ich komme aber trotzdem zum richtigen Ergebnis. Wahrscheinlich einfach nur auf einen viel längeren Weg...
Nun also meine Frage: gibt es eine bestimmte Strategie, wie ich an solch eine Aufgabe heran gehe? Also zum Beispiel erst die Zeilen vertauschen und dann mit Linearkombi weitermachen oder soll ich die Rechenoperationen so anwenden, dass ich möglichst von unten links angefangen viele Nullen bekomme, sodass ich dann nur noch versuchen muss, per Lin.Kombi auf den Kopf "1" zu kommen oder wie geht ihr an solch eine Aufgabe?
Wie gesagt: ich komme ja immer zum richtigen Ergebnis, aber manchmal mit über 20 Rechenoperationen (also bei einer derartigen Matrix... 4x5 ist ja nicht sooo klein). Das kann doch nicht sein oder?
Ich habe sämtliche Definitionen, Lösungsempfehlungen Lernchecks und Übungsaufgaben gemacht und mir sind die "Regeln" bewusst und ich weiß auch wie es am Ende "aussehen" soll. Aber es geht doch sicherlich auch einfacher oder??
Wäre für eine Idee sehr dankbar!
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> Bringen Sie die Matrix
>
> A : = [mm]\vmat{ 3 & 2 & 19 & -1 & 5 \\ -2 & 1 & -15 & 4 & 15 \\ 4 & 2 & 26 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 6 & -1 & 2 }[/mm]
>
> mit Hilfe des Gaußalgorithmus in normierte
> Zeilenstufenform und bestimmen Sie aus dieser eine Basis
> des Kerns von A und eine Basis des Bildes von A.
> Nun habe ich aber in einem der Lösungsvorschläge (direkt
> auf der entsprechenden Seite von der Uni!!) Folgendes
> gelesen:
Hallo,
Du kannst natürlich auf verschiedenen Wegen zu Deiner NZSF kommen.
Ich selbst vervielfache lieber Zahlen, als daß ich mit Brüchen rechne.
Das schnellste Verfahren bei handrechnung ist für mich das, bei welchem ich am wenigsten Rechenfehler mache.
>
> 1. Dividiere jede Zeile durch ihren Kopf, sodass alle
> Köpfe gleich Eins sind.
>
>
> 2. Für jeden Kopf subtrahiere ein geeignetes Vielfaches
> seiner Zeile von allen darüber liegenden Zeilen, sodass
> über ihm nur Nullen stehen.#
>
> Ich hab das mal mit der gegebenen Matrix versucht... kommt
> es mir nur als Blödsinn vor oder habe ich was falsch
> verstanden?
Zweiteres.
Die meinen das so:
A : = $ [mm] \vmat{ 3 & 2 & 19 & -1 & 5 \\ -2 & 1 & -15 & 4 & 15 \\ 4 & 2 & 26 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 6 & -1 & 2 } [/mm] $
--> $ [mm] \vmat{ 1 & 2/3 & 19/3 & -1/3 & 5/3 \\ 1 & -1/2 & 15/2 & -4/2 & -15/2 \\ 1 & 2/2 & 26/2 & 0/2 & 6/2 \\ 1 & 1 & 6 & -1 & 2 } [/mm] $,
und nun kannst Du in der ersten Spalte mehr oder weniger bequem Nullen erzeugen.
Für die nächste Spalte dann anschließend entsprechend.
Deine Chefs bieten Dir hier eine systematische Vorgehensweise an, die ohne weiteres Nachdenken immer funktioniert.
Zeilen tauschen tun sie sicher nur im "Notfall", wenn Nullen nach unten gebracht werden müssen.
Ich hätte das für Handrechnung anders gemacht: die letzte Zeile als erste genommen, und dann Vielfache von dieser von den anderen Spalten abgezogen.
Ich normiere die Zeilen meist auch erst, wenn ich ZSF habe (oder sogar noch später) um möglichst lange frei von Brüchen zu bleiben.
Es kommt ja auch immer ein bißchen auf die Zahlen drauf an - bei Handrechnung.
Zur Beschleunigung Deiner Rechenvorgänge:
wenn Du das prinzipielle Vorgehen verstanden hast, Dich systematisch zur ZSF vorarbeitest und von dort zur NZSF, dann ist doch alles in Butter.
Ob Du eine Zeile mehr oder weniger hinschreibst, finde ich nicht so wesentlich, es hängt halt auch davon ab, wie gut Du im Kopf rechnen kannst.
Ich bin schneller, wenn ich ruhig mal eine Zeile mehr spendiere.
Die Geschwindigkeit steigt mit der Übung.
Ich schreibe z.B. nicht immer die kompletten Matrizen neu, sondern streiche Zeilen, hänge andere unten dran, baue Hilfszeilen ein, die ich sofort nach Verwendung wieder streiche - aber dies hat sich aus dem Tun ergeben und ist nichts, welches ich unbedingt propagieren würde für jemanden, der gerade übt.
> Oder meinen die, ich soll jede Zeile durch die erste Zahl
> in der Zeile teilen, sodass ich quasi in der ersten Spalte
> der gesamten Matrix nur Einsen zu stehen habe?
Ja, genau - Du hast es selbst erkannt.
> Wie gesagt: ich komme ja immer zum richtigen Ergebnis, aber
> manchmal mit über 20 Rechenoperationen (also bei einer
> derartigen Matrix... 4x5 ist ja nicht sooo klein). Das kann
> doch nicht sein oder?
Ich kann mir das gut vorstellen. Wenn man statt *13/17 zu rechnen, erstmal *13 rechnet und irgendwann später durch 17 teilt, hat man ja doppelt so viel zu rechnen - bei mir steigt die Trefferquote dadurch aber. Und die Trefferquote zählt!
So sehe ich das. Aber ich bin auch nicht so der Fast-Food-Typ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Mo 22.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Angela,
erstmal vielen Dank! :) Du hast mir - wie bis jetzt wirklich jedes Mal - sehr geholfen, indem Du meine Erkenntnis bestätigt hast und es noch etwas genauer erklärt hast!
Die Antworten von Dir sind wirklich immer sehr hilfreich für mich!
Ich habe das - auch wenn es mir blöd vorkam und ich auch nicht gern fast ausschließlich nur mit Brüchen rechne - trotzdem sporadisch einfach mal so probehalber probiert (was die da geschrieben hatten mit den Einsen am Anfang), aber ganz ehrlich: das war mir dann auch echt zu viel!
Ansonsten sehe ich das genau wie Du: letztendlich zählt ja das Ergebnis und der Rechenweg ist ja an sich nicht falsch!
Und das mit dem erst ZSF und dann norminieren habe ich mir auch so gedacht. Klappt natürlich nicht immer, wenn beim ZSF nicht unbedingt der Kopf eine Eins ist und dort muss ja auch nicht jeder Kopf die gleich Ziffer/Zahl sein, richtig?
Nur noch eine kleine Verständnisfrage: über dem Kopf müssen alles Nullen sein beim NZSF, aber darunter auch? Oder nicht? Und ich muss nicht zwingend in der Nachbarspalte den nächsten Kopf ansiedeln, richtig? Dort können auch beliebige Zahlen in einer Spalte stehen. Hauptsache je tiefer, desto weiter rechts ist der Kopf (also der Kopf ist immer eine Zeile oder auch mehrere Zeilen unter dem Kopf von der Spalte links daneben.)
Habe ich das richtig verstanden? Weil das war mir noch etwas unklar...
Aber Danke schon mal für Deine Antwort und die Zeit die Du Dir dafür nimmst!
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> Die Antworten von Dir sind wirklich immer sehr hilfreich
> für mich!
Hallo,
freut mich zu hören, daß meine Antworten klären und nicht etwa verwirren.
> Und das mit dem erst ZSF und dann norminieren habe ich mir
> auch so gedacht. Klappt natürlich nicht immer, wenn beim
> ZSF nicht unbedingt der Kopf eine Eins ist und dort muss ja
> auch nicht jeder Kopf die gleich Ziffer/Zahl sein,
> richtig?
Ja, in der Zeilenstufenform dürfen die führenden Elemente (so nenne ich das, was Du Kopf nennst) durchaus verschiedene Zahlen sein.
>
> Nur noch eine kleine Verständnisfrage: über dem Kopf
> müssen alles Nullen sein beim NZSF, aber darunter auch?
Ja.
> Oder nicht? Und ich muss nicht zwingend in der
> Nachbarspalte den nächsten Kopf ansiedeln, richtig?
Richtig. Manchmal klappt das ja auch nicht.
> Dort
> können auch beliebige Zahlen in einer Spalte stehen.
> Hauptsache je tiefer, desto weiter rechts ist der Kopf
> (also der Kopf ist immer eine Zeile oder auch mehrere
> Zeilen unter dem Kopf von der Spalte links daneben.)
Eine Zeile drunter, aber u.U. mehrere Spalten weiter rechts als der Kopf der Zeile davor.
Beispiel: [mm]\pmat{ 1 & 2 &3&0&1&2&3\\
0 & 0 &0&1&5&6&7\\
0 & 0&0&0&0&0&0 } [/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Mo 22.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ah ja! Super! Vielen Dank Angela, das hat meine kleinen Unsicherheiten beim Berechnen der Aufgabe auf jeden Fall beseitigt :)
Ja und den "Kopf", so wie es unser Tutor gern sagt, nenne ich Pivotelement. Zumindest habe ich es so kennen gelernt. Aber egal wie es heißt, wir meinten ja beide das Gleiche! Also vielen Dank Angela und ich denke, die nächste Frage kommt bestimmt :)
Ich wünsche Dir noch einen angenehmen Tag!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Mi 24.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo,
ich habe mich jetzt mit meiner Gruppenpartnerin unterhalten und sie hat eine andere NZSF als ich! Ist es möglich, bzw. ist es okay, wenn sie eine andere hat? Also es gibt ja mehrere Möglichkeiten, eine Matrix in eine NZSF zu bringen.
Die Matrix ist ja oben ersichtlich!
Ich habe folgende NZSF:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Und sie hat:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 7 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Dadurch haben wir natürlich auch verschiedene Basen von Bild und Kern von A!
Geht das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sigma |
> Hallo,
>
> ich habe mich jetzt mit meiner Gruppenpartnerin unterhalten
> und sie hat eine andere NZSF als ich! Ist es möglich, bzw.
> ist es okay, wenn sie eine andere hat? Also es gibt ja
> mehrere Möglichkeiten, eine Matrix in eine NZSF zu
> bringen.
>
> Die Matrix ist ja oben ersichtlich!
>
> Ich habe folgende NZSF:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
Wenn es sich auf die Matrix aus dem ersten Post bezieht stimmt deine Lösung nicht. Deine umgeformte Matrix(NZSF) hat einen Rang von 4.
> Und sie hat:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & 7 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Dein Komillitonin dagegen hat die richtige Lösung mit dem MatrixRang 3.
> Dadurch haben wir natürlich auch verschiedene Basen von
> Bild und Kern von A!
>
> Geht das?
Natürlich nicht. Den [mm] Rang(A)=3\not=4
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Mi 24.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Aber ich habe alle Regeln der elementaren Rechenoperation eingehalten! Wie kann das dann sein?
Und woher weiß ich, dass der Rang 3 ist?
Ich habe meine Lösung als Excel Dokument. Kann ich es hier hochladen und Du guckst mal drüber?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mi 24.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ja da guck ich auch immer! Aber ganz ehrlich: es gibt doch zig verschiedene Möglichkeiten, wie ich darauf komme! Ich lade meins mal hoch!
Und Wolframalpha hatte bis jetzt auch nicht immer komplett recht! Laut meines Tutors!
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xlsx) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sigma |
Lade deine Datei doch extern irgendwo bei einem FileHoster hoch und stell den Link hier rein. Dann kann man sie gleich kontrollieren und die Rechteprüfung durch den Matheraum entfällt.
Auch ![[]](/images/popup.gif) MatrixRowOperations liefert das richtige Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:48 Mi 24.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ja aber ist doch komisch...
hier der Link (sofern er funktioniert):
http://www.dateiupload.com/files/XOPOKgdY6n.xlsx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:04 Mi 24.11.2010 | | Autor: | XOrkaX |
Bin auch gerade fertig mit der Bearbeitung der Aufgabe (morgen ist ja Abgabe) und habe das Gleiche Ergebnis raus wie deine Partnerin.
Ich finde es um einiges leichter, wenn man versucht Brüche zu vermeiden, was in dieser Aufgabe gelingt.
In dem Dokument, welches du hochgeladen hast, sieht es ja grausam aus ^^
Mir ist leider auch nicht die Nullzeile ersichtlich, welche es definitiv gibt.
Wann findet dein Tut statt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:10 Mi 24.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ja frag nicht. Ich hatte auch ganz am Anfang das Gleiche raus wie sie, hab das Blatt dann aber weggeschmissen weil irgendwo stand: alle Köpfe durch sich selbst teilen sodass man in jeder Zeile 1 am Anfang hat. Und dadurch hab ich dir ganze Sche*** nochmal gemacht. Und jetzt ist es falsch... ohne Worte!
Hab morgen 12 Uhr Tutorium in MA263 glaub ich!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:41 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sigma |
Hallo lexjou,
kleiner Vorzeichenfehler in der Excel(Zeile 53-56) Matrix
Statt 1 Muss es -1 lauten den -2-(-1)=-1.
Also Fehler in Spalte E Zeile 54.
Gute NAcht sigma
PS Konnte die Datei nicht öffnen, da ich nur Excel 2000 habe.
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> Hallo,
>
> ich habe mich jetzt mit meiner Gruppenpartnerin unterhalten
> und sie hat eine andere NZSF als ich! Ist es möglich, bzw.
> ist es okay, wenn sie eine andere hat? Also es gibt ja
> mehrere Möglichkeiten, eine Matrix in eine NZSF zu
> bringen.
Hallo,
es gibt zwar mehrere Möglichkeiten, zur NZSF zu kommen, aber die NZSF ist im Gegensatz zur ZSF eindeutig(, was die Korrektoren freut).
Gruß v. Angela
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