notwendiges, hinr. Kriterium < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Do 02.06.2005 | | Autor: | matthes |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Diese Frage dürfte nicht sehr schwer zu beantworten sein.
Wahr oder falsch
f'(a)=0 ist ein hinreichendes Kriterium für einen Extrempunkt
f''(a) < 0 ist ein notwendiges Kriterium für einen Hochpunkt
f'(a)=0 ist hinreichend, aber nicht notwendig für das Vorhandensein eines Extrempunktes an der Stelle a
f''(a) < 0 ist ein hinreichendes Kriterium für einen Hochpunkt
Bitte mit Begründung.
[Vielleicht definiert ihr mir nochmal notwendiges und hinreichendes Kriterium, besonders in Bezug auf ein Extremum (Hoch und Tiefpunkte)]
Danke
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Hallo!
Hinreichend bedeutet: Wenn dieses Kriterium erfüllt ist, dann muss die Eigenschaft vorliegen.
Notwendig bedeutet: Wenn die Eigenschaft vorliegt, muss dieses Kriterium erfüllt sein.
Ein kleines Beispiel:
Wenn es regnet, müssen Wolken am Himmel sein.
Also ist "Wolken" notwendig für "Regen".
Es kann aber passieren, dass Wolken am Himmel sind, aber kein Regen fällt.
Also ist "Wolken" nicht hinreichend für "Regen".
Hast du jetzt eine Idee für deine Aufgabe?
Gruß, banachella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Do 02.06.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Matthes!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Diese Frage dürfte nicht sehr schwer zu beantworten sein.
>
> Wahr oder falsch
>
> f'(a)=0 ist ein hinreichendes Kriterium für einen
> Extrempunkt
falsch, denn es gibt auch Punkt mit der Steigung null, die keine
Extrempunkte sind.
> f''(a) < 0 ist ein notwendiges Kriterium für einen
> Hochpunkt
ja, an einem Hochpunkt muss die Kurve nach rechts gekrümmt
sein.
> f'(a)=0 ist hinreichend, aber nicht notwendig für das
> Vorhandensein eines Extrempunktes an der Stelle a
falsch, siehe oben
>
> f''(a) < 0 ist ein hinreichendes Kriterium für einen
> Hochpunkt
falsch, es gibt sehr viele Punkte, an denen der Graph
rechts gekrümmt ist
>
>
> Bitte mit Begründung.
>
> [Vielleicht definiert ihr mir nochmal notwendiges und
> hinreichendes Kriterium, besonders in Bezug auf ein
> Extremum (Hoch und Tiefpunkte)]
>
>
> Danke
Liebe Grüße
Fugre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Do 02.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fugre!
> > f''(a) < 0 ist ein notwendiges Kriterium für einen Hochpunkt
> ja, an einem Hochpunkt muss die Kurve nach rechts gekrümmt sein.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hätte ich ein Gegenbeispiel: $y \ = \ [mm] -x^4$ [/mm] !!
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $y'' \ = \ [mm] -12x^2$ [/mm] und $y''(0) \ = \ 0$ !
Hier handelt es sich um ein hinreichendes Kriterium (in Verbindung mit dem notwendigem Kriterium $y' \ = \ 0$ ).
Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Do 02.06.2005 | | Autor: | matthes |
Sicher dass [mm] -x^4 [/mm] ein Sonderfall ist?
Bei Wikipedia steht:
"Erfüllt eine mögliche Extremstelle eine weitere (sogenannte hinreichende) Bedingung, z.B. dass die zweite Ableitung in dieser Stelle nicht 0 ist, dann handelt es sich um eine Extremstelle, genauer: Ist die zweite Ableitung größer als 0, handelt es sich um ein lokales Minimum, ist sie kleiner als 0, handelt es sich um lokales Maximum. Ist sie jedoch auch gleich 0, muss man weitere Untersuchungen anstellen, um zu entscheiden, ob eine Extremstelle vorliegt oder nicht."
...dass die zweite Ableitung in dieser Stelle nicht 0 ist...
+ist ein hinreichendes immer ein notwendiges Kriterium?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Fr 03.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hinreichend ist im Allgemeinen nicht notwendig und notwendig ist i.A. nicht hinreichend. y''<0 ist hinreichend für ein Maximum ,wenn ausserdem die notwendige Bedingung y'=0 erfüllt ist.
ohne den zweiten Teil ist es weder notwendig, noch hinreichend.
f''<0 ist nicht notwendig ! das sagt ja auch Wikipedia.
Noch mal: Notwendig heisst:es muss unbedingt so sein, wenn die Aussage (hier Vorliegen eines Max)wahr sein soll. Hinreichend heisst, wenn es so ist reicht es aus, um die Aussage als wahr festzustellen.
Lauter Einsen in ner Prüfung sind hinreichend, um sie zu bestehen, aber nicht notwendig. Besser als 6 ist notwendig um sie zu bestehen.
1000 sind hinreichend für ein paar Schuhe aber nicht notwendig!
Unsere Anstrengungen, das alles zu erklären sind hoffentlich hinreichend, aber wohl nicht unbedingt notwendig!
Gruss leduart
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