nte Wurzel mit h-Methode < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | k [mm] \in \IN f:(0,\infty) \Rightarrow \IR f(x)=\wurzel[k]{x} [/mm] mittels Definition ableiten. |
Hi,
nach langem Überlegen sehe ich hier einfach keine Möglichkeiten das zu vereinfachen:
[mm] \frac{(x-h)^\frac{1}{k} - x^\frac{1}{k}}{h}
[/mm]
bitte nur einen kleinen Tipp den Rest möchte ich möglichst selber machen. :)
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Hiho,
schau mal meine Antwort hier.
Aber kurz eine Anmerkung. Sowohl du, als auch dein Komolitone im anderen Thread haben beide als Definition
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0} - h) - f(x_{0})}{h} [/mm] $
benutzt, was aber falsch ist, es muss heissen:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h} [/mm] $
Kann es sein, dass euer Dozent da einen Fehler gemacht hat?
Wenn ja, weist ihn doch mal drauf hin.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Gonzal hats schon gesagt:
zu betrachten ist: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel[k]{x_0+h}-\wurzel[k]{x_0}}{h}
[/mm]
Tipp: Es ist
[mm] $(a^k-b^k)= (a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+ ...+ab^{k-2}+b^{k-1})$
[/mm]
Setze nun $a= [mm] \wurzel[k]{x_0+h}$ [/mm] und $b= [mm] \wurzel[k]{x_0}$
[/mm]
FRED
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> [mm](a^k-b^k)= (a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+ ...+ab^{k-2}+b^{k-1})[/mm]
müsste das nicht:
[mm] (a^{k}+a^{k-1}b+a^{k-1}b^{2}+ [/mm] ...
heißen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo DrNetwork!
Nein! Wenn Du Deinen "Vorschlag" mal ausmultiplizierst würde da z.B. die Potenz $a^{k \ \red+1}}$ entstehen.
Gruß
Loddar
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> [mm](a^k-b^k)= (a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+ ...+ab^{k-2}+b^{k-1})[/mm]
Auf so eine Idee bin auch gekommen, aber nicht auf so eine Formel. Wie kommt man denn darauf?
Hab schon probiert das als Summe aufzuschreiben, aber weiss nicht genau wie ich das erste Glied hinbekomme ohne b und [mm] a^{k-1}[/mm]
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Hiho,
> > [mm](a^k-b^k)= (a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+ ...+ab^{k-2}+b^{k-1})[/mm]
>
> Auf so eine Idee bin auch gekommen, aber nicht auf so eine
> Formel. Wie kommt man denn darauf?
Eigentlich recht simpel:
Man betrachtet $f(a) = [mm] (a^k [/mm] - [mm] b^k)$ [/mm] als Polynom in a und erkennt b als Nullstelle des Polynom, also kann man $(a-b)$ per Polynomdivision ausklammern und erhält eben:
[mm] $\bruch{a^k - b^k}{a-b} [/mm] = [mm] (a^{k-1}+a^{k-2}b+ ...+ab^{k-2}+b^{k-1})$
[/mm]
Multiplizieren mit $(a-b)$ liefert die gewünschte Formel.
Und ja, schreibe [mm] a^{k-1} [/mm] als [mm] $a^{k-1}*b^0 [/mm] $ und schon findest du bestimmt ganz leicht eine Summenschreibweise dafür 
MFG,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Mi 02.12.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Schönen Gruß an MrAfi, scheint ja so als wenn wir die gleichen Übungen machen müssten.
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