nullfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | beweisen sie: für folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] gilt:
(a) sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] nullfolgen, so ist auch die folge [mm] (a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] eine nullfolge.
(b) ist [mm] (a_n) [/mm] eine nullfolge und [mm] (b_n) [/mm] beschränkt, so ist auch [mm] (a_n [/mm] * [mm] b_n) [/mm] eine nullfolge. |
nach den rechenregeln gilt ja:
a) [mm] (a_n [/mm] + [mm] b_n)_n [/mm] konvergiert gegen a + b .
b) [mm] (a_n [/mm] * [mm] b_n)_nkonvergiert [/mm] gegen ab .
aber kann ich das damit beweisen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich denke, das wird nicht ausreichen, da hier die Gültigkeit der Grenzwertstätze vorausgesetzt wird.
Von daher musst Du wohl (oder übel) zum [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] zurückgreifen.
Verwende dafür die gegebenen Voraussetzungen:
[mm] $$\forall \varepsilon>0 [/mm] \ : \ [mm] \exists n>n_0 [/mm] \ : \ [mm] \left|a_n-0\right|<\varepsilon$$
[/mm]
bzw. für b.)
[mm] $$\left|b_n\right|
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
ich hab's versucht auf die summenfolge anzuwenden:
sei e>0, demzufolge ist auch e/2<0, was ich gewählt habe, damit die addition später wieder genau auf ein e kommt.
wegen der konvergenz der folgen, streben beide gegen ein N. also wird noch [mm] N_1, N_2 \in \IN [/mm] festgelegt.
[mm] |a_n-a| [/mm] < e/2 für n [mm] \ge N_2
[/mm]
[mm] |b_n-b| [/mm] < e/2 für n [mm] \ge N_2
[/mm]
da beide gegen dieselbe zahl streben, gilt nun folgendes
[mm] |(a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] - (a + b)|
ist das schon mal richtig?
und ich habe mir die regel mit dem e ja gemerkt, aber könnte mir jemand erklären, was genau dahinter steckt? wieso man nun dieses e benutzt?
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Hallo Thomas,
> ich hab's versucht auf die summenfolge anzuwenden:
>
> sei e>0, demzufolge ist auch [mm] e/2\red{>}0, [/mm] was ich gewählt habe,
> damit die addition später wieder genau auf ein e kommt.
Ja! Aber "gewählt" ist ein bisschen der falsche Ausdruck 
>
> wegen der konvergenz der folgen, streben beide gegen ein N.
> also wird noch [mm]N_1, N_2 \in \IN[/mm] festgelegt.
>
> [mm] $|a_n-a|< [/mm] e/2$ für [mm] $n\ge N_{\red{1}}$
[/mm]
> [mm] $|b_n-b|< [/mm] e/2$ für [mm] $n\ge N_2$ [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> da beide gegen dieselbe zahl streben, gilt nun folgendes
>
> [mm]|(a_n[/mm] + [mm]b_n)[/mm] - (a + b)|
>
> ist das schon mal richtig?
Ja, das ist sehr gut soweit
> und ich habe mir die regel mit dem e ja gemerkt, aber
> könnte mir jemand erklären, was genau dahinter steckt?
> wieso man nun dieses e benutzt?
Naja, da du beide Folgen "kleiner" als ein beliebiges [mm] $\varepsilon$ [/mm] kriegst, so sicher auch zu vorgegebenem [mm] $\varepsilon$ [/mm] "kleiner" als [mm] $\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{2}$, [/mm] klar oder?
Das brauchst du hier, weil du auf [mm] $|(a_n+b_n)-(a+b)|=|a_n+b_n|$ [/mm] im Weiteren noch die [mm] $\triangle$-Ungleichung [/mm] anwenden solltest ...
Denke daran, noch dein [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] anzugeben (bzw. zu konstruieren) aus den obigen [mm] $N_1, N_2$, [/mm] wie musst du [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] wähler, damit beide Abschätzungen [mm] $|a_n|<\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] und [mm] $|b_n|<\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] gleichzeitig erfüllt sind?
Aber dein Ansatz ist schon genau der richtige!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 So 23.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
[mm] |a_n [/mm] - a| + [mm] |b_n [/mm] - b| < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Das ist ja kein Problem, aber wie mache ich das bei b?
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Hallo nochmal,
> [mm]|a_n[/mm] - a| + [mm]|b_n[/mm] - b| < [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Das ist ja kein Problem, aber wie mache ich das bei b?
Du musst es wie in (a) zusammenbasteln aus den gegebenen Infos, du weißt
(1) [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist Nullfolge, dh. zu beliebigem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] findest du ein [mm] $N(\varepsilon)\in\IN$, [/mm] so dass für alle [mm] $n\ge N(\varepsilon)$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n|<\varepsilon$
[/mm]
(2) [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist beschränkt, dh. es gibt ein [mm] $M\in\IR^+$, [/mm] so dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $|b_n|\le [/mm] M$
Das musst du doch nur zusammenstoppeln, bedenke, dass du [mm] $|a_n|$ [/mm] zu vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig klein bekommst, auch kleiner als zB [mm] $\frac{\varepsilon}{1000000}$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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> beweisen sie: für folgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] gilt:
> (a) sind [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] nullfolgen, so ist auch die folge
> [mm](a_n[/mm] + [mm]b_n)[/mm] eine nullfolge.
> (b) ist [mm](a_n)[/mm] eine nullfolge und [mm](b_n)[/mm] beschränkt, so ist
> auch [mm](a_n[/mm] * [mm]b_n)[/mm] eine nullfolge.
> nach den rechenregeln gilt ja:
> a) [mm](a_n[/mm] + [mm]b_n)_n[/mm] konvergiert gegen a + b .
> b) [mm](a_n[/mm] * [mm]b_n)_nkonvergiert[/mm] gegen ab .
>
> aber kann ich das damit beweisen?
Hallo,
.
Wenn Ihr die Grenzwertsätze bereits hattet (!), kannst Du das für a) so machen.
In b) geht das nicht, denn es steht dort nichts davon, daß [mm] (b_n) [/mm] konvergiert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Azarazul |
> In b) geht das nicht, denn es steht dort nichts davon, daß
> [mm](b_n)[/mm] konvergiert.
..wohl aber, dass [mm] b_n [/mm] beschränkt ist. Ich hatte diese Aufgabe auch mal und habe sie so gelöst, dass ich das supremum von [mm] b_n [/mm] betrachtet habe. Also:
[mm] sup(b_n) * a_n \rightarrow 0 [/mm] für [mm] n \rightarrow \infty [/mm]
Reicht das aus? Dann kann man Grenzwertsätze anwenden.
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> > In b) geht das nicht, denn es steht dort nichts davon, daß
> > [mm](b_n)[/mm] konvergiert.
>
> ..wohl aber, dass [mm]b_n[/mm] beschränkt ist. Ich hatte diese
> Aufgabe auch mal und habe sie so gelöst, dass ich das
> supremum von [mm]b_n[/mm] betrachtet habe. Also:
> [mm]sup(b_n) * a_n \rightarrow 0[/mm] für [mm]n \rightarrow \infty[/mm]
>
> Reicht das aus? Dann kann man Grenzwertsätze anwenden.
Hallo,
genau, die Beschränktheit ist hier wichtig.
Damit kann man die Folge [mm] a_nb_n [/mm] "einkesseln", und dann mit dem "Sandwichtheorem" kommen, vorausgesetzt, dieses steht einem zur Verfügung.
Gruß v. Angela
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