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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:29 Sa 02.04.2005 | | Autor: | ginii |
Hallo Max!
Ich habe wieder eine Frage. Ich suche noch Beispielaufgaben, die ich zu dem Thema ( numerische Integration durch wiederholtes Differenziere ) aufführen kann.
Mit der Formel, die ich durch die Differenz F(b)-F(a) erhalten habe, kann ich nun das Integral bestimmen. Richtig? Also, ich muss eine beliebige Funktion in die Formel einsetzten, z.B. [mm] f(x)=e^x, [/mm] und dann, wie bei der Taylorformel die Punkte bestimmt werden, das Integral mit den Polynomen ausrechnen.
Gibt es zu dieser Formel noch wichtige Informationen?
Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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Hallo!!
Also die numerische Inegration ist ja der Ursprung vom integrieren, denn die Formeln sind nur aus dem entstanden--infinitesimale näherung!!
Ich würde dir die Riemann Summen empfehlen:
Es gibt die obere oder die untere Riemann Summe:Je nach Beispiel genauer und je nach Anzahl der Teilintervalle.
Also du Teilst dien Intervall [a,b] in dem die Funktion stetig ist in n Teilintervalle ein.
Es gilt: [mm] a
Obere summe: [mm] S_{O} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} k_{i}*(x_{i}-x_{i-1})
[/mm]
definition: [mm] k_{i} [/mm] = Maximum des Intervalles [mm] [x_{i-1},x_{i}]
[/mm]
Alles klar??? Die untere Riemannsumme ist das gleiche nur dass du das Minimum einsetzen musst!!
PS: Nichts anderes als die Fläche in kleine Rechtecke einzuteilen.MFG Daniel
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Hallo Daniel,
In der Frage ist die Rede von einem bestimmten Algorithmus zum Integrieren. Hat dieser etwas mit Riemannsummen zu tun?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:39 So 03.04.2005 | | Autor: | ginii |
Hallo alle zusammen! 
Das mit dem Rechteckverfahren ist mit klar. Ich habe jetzt ein Thema, das sich mit der numerischen Integration befasst. Es gibt ja neben dem Rechteckverfahren noch weitere Methoden, wie z.B. das Trapezverfahren, Simsonverfahren usw., die zur numerischen Berechnung des Integrals benutzt werden. Ich habe aber eine Methode, die wahrscheinlich nicht sehr bekannt ist. Hierbei wird das Integral durch Ableitungen bestimmt, indem die Taylorformel eingesetzt wird. Durch Summieren F(b)-F(a) fällt die unbekannte Stammfunktion F(a) weg, und man erhält die die Ableitungen der Stammfunktion, die der Integrandenfunktion entsprechen, denn es gilt: F´(x)=f(x), [mm] F´´(x)=f´(x)...F^n(x)=f^n-1(x)
[/mm]
Die Formel habe ich soweit schon. Nur was ich gerne haben wollte, sind einige Beispielaufgaben, die diese Methode noch weiter verdeutlichen.
Vielleicht kennt jemand eine passende Seite dazu.
Ich danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Liebe Grüße Irina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 So 03.04.2005 | | Autor: | leduart |
> Die Formel habe ich soweit schon. Nur was ich gerne haben
> wollte, sind einige Beispielaufgaben, die diese Methode
> noch weiter verdeutlichen.
> Vielleicht kennt jemand eine passende Seite dazu.
>
> Ich danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
>
> Liebe Grüße Irina
Hallo Irina
Erstmal würd ich ein Polynom nehmen, das durch die Methode exakt integriert wird, im Gegensatz zu den anderen Methoden (Simpson integriert bis 3. Grades exakt)
Dann eine Funktion, wo es keine explzite Lösung gibt, wie [mm] e^{x}^{2} [/mm] oder [mm] sin^{2}(x) [/mm] hier ist das bestimmte Integral von 0 bis [mm] \pi [/mm] einfach, da für das Integral in diesen Grenzen gilt Integral [mm] sin^{2} [/mm] =Integral [mm] cos^{2}. [/mm] Man kann also leicht die Genauigkeit der Näherung beurteilen.
Wenn du auch noch ne andere numerische Methode behandelst, lohnt es sich, sie zu vergleichen, bei gleichem Rechenaufwand.
Gruss leduart
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