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Forum "Differentialgleichungen" - numerische Lösung
numerische Lösung < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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numerische Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Di 24.03.2009
Autor: andi1983

Aufgabe
Entwickeln sie ein Programm, welches die gewöhnliche Differenzialgleichung
a > 0: u'' + au = f in ]0,1[ , u(0) = g1 , u'(0) = g2  (* )folgendermaßen numerisch löst:

Formulieren Sie (*) als Gleichung erster Ordnung.
# Diskretisieren Sie das Intervall [0, 1] durch die Punkte {i/N | i = 0.....N} g und Schrittweite h = 1/N.
# Diskretisieren Sie die Ableitung jeweils durch die Di fferenzenapproximationen vom ersten Übungsblatt - einseitiger/zentraler Differenzenquotient.
# Stellen Sie die zugehörigen Gleichungen auf und finden Sie ein effzientes Verfahren zur numerischen Lösung.
Testen Sie das Problem mit dem Parameter a = 987 und den Daten f(x) = [mm] (50x)^2 [/mm] sowie
g1 = 1; g2 = 0 für N  [mm] \in [/mm] {50; 500; 5000}. Welche Unterschiede ergibt die verschiedene Wahl der Di fferenzenquotienten? Was können Sie fur große N beobachten?

Da wir kaum was mit Diffgleichungen gemacht haben, ich sag mal pauschal wir, keine Ahung was wir da eigentlich machen sollen? Also eine Schritt für Schritt
Anleitung wäre schon nett...

Danke für die Mühe.

        
Bezug
numerische Lösung: Allgemeines
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 Di 24.03.2009
Autor: BAler

Hallo Andreas

So auf den ersten Blick würde ich sagen, dass ich die (konkrete)DGL lösen kann. Aber leider nicht numerisch. Das hab ich noch nie gemacht.

"keine Ahung was wir da eigentlich machen sollen?"
Im Prinzip sollst du eine Funktion u bestimmen, die die vorgegebene Gleichung erüllt. i.A. entstehen ja bei der notwendigen Integration Konstanten. Diese kannst du dann über die Anfangsbedingungen u(0),... lösen.

Aber mal zu deiner Frage. Da würde mir einiges fehlen:
- Welches Programm? bzw auf welcher Basis erfolgt die Programmierung?
- Bei welchem Punkt hast du genau Probleme? Schon bei der Intervallaufteilung?
- Was steht auf dem ersten Übungsblatt?

Viel mehr hab ich zu der Frage auch nicht zu sagen.

Grüße

Bezug
        
Bezug
numerische Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:49 Di 24.03.2009
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Zunächst hast du da eine DGL 2. Ordnung, es steht eine 2. Ableitung drinne.

Substituiere mal:


[mm] v_1(x)=u(x) [/mm]
[mm] v_2(x)=u'(x) [/mm]

Dann folgt
[mm] v_1'(x)=v_2(x) [/mm]

[mm] v_2'(x)=u'(x)=f(x)-au(x)=f(x)-av_1(x) [/mm]   <--- DAS kommt von der DGL!!

Daraus bastelst du dir nun eine DGL 1. Ordnung (nur 1. Ableitung), aber in zwei Dimensionen:

[mm] \vec{V}(x)'=\vektor{0\\f(x)}+\pmat{ 0 & 1 \\ -a & 0 }\vec{V}(x) [/mm] mit [mm] \vec{V}(x)=\vektor{v_1(x)\\v_2(x)} [/mm]


Das ist der allererste Teil.

Zu dem Rest solltest du vielleicht mal schreiben, was du so weißt, denn sonst schreibe ich mir nen Wolf.


Zu dem Differenzenquotienten nenne ich mal [mm] f'(x_i)=\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{g} [/mm] oder [mm] f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2g} [/mm] Sagt dir das was?



Bezug
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