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nur ein kleiner Beweis *grummel*: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Di 27.04.2004
Autor: David_Lynch

Hallo,
könnt ihr mie vielleicht sagen wie folgender Beweis zu führen ist? Mir ist schon klar das die Ungleichung stimmt, aber ich weiss nicht wie ich das beweisen soll. Ich habs mit Induktion nach n probiert aber das hat leider nicht hingehauen. Hier die Aufgabe:

Hinweis: die Klammern sollen hier nicht für Vektoren, sondern für dieses "über" stehen, also z.B "2n über n" und nicht "x-koordinate=2n, y-koordinate=n". Ich hoffe ihr versteht meiner Worte Sinn.

Sein  [mm] n\in\IN. [/mm] zu zeigen ist:  [mm] \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} [/mm] ist größergleich  [mm] \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} [/mm] für alle 0 kleinergleich k kleinergleich 2n

Ich hab auch schon probiert den binomischen Lehrsatz hier anzuwenden, was aber ebenso ergebnislos geblieben ist wie der Versuch eines Induktionsbeweises. Ich hoffe ihr könnt mir hier wieder helfen,
Gruß David



        
Bezug
nur ein kleiner Beweis *grummel*: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Di 27.04.2004
Autor: Marcel

Hallo,
ich habe mal versucht, einen Beweis zu basteln, hoffe allerdings, dass ich keinen Fehler gemacht habe. Also:
Wegen der Symmetrie [mm] {2n \choose k}={2n \choose 2n-k} [/mm] können wir o.b.d.A. [mm] k < n [/mm] annehmen, (eigentlich zunächst [mm] k \le n [/mm], aber für [mm] k=n [/mm] ist die Aussage klar).
Dann gilt:
(*) [mm] \bruch{n!}{k!*(n+1)*...*(2n-k)} \le 1 [/mm].
Das siehst du sofort ein, wenn du [m] n! [/m] in n Faktoren zerlegst und den Nenner auch als Faktoren schreibst. Beachte dabei, dass [mm] (2n-k)=(n+(n-k))[/mm], d.h. im Nenner stehen auch k+(n-k)=n Faktoren.
Aus (*) folgt:
[mm] \bruch{n!}{k!*(n+1)*...*(2n-k)} \le 1[/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{(k+1)*...*n*n!}{k!*(k+1)*...*n*(n+1)*...*(2n-k)} \le 1 [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{(k+1)*...*n*n!}{(2n-k)!} \le [/mm] 1
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{k!*(k+1)*...*n*n!}{k!*(2n-k)!} \le [/mm] 1
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{(n!)^2}{k!*(2n-k)!} \le [/mm] 1
[mm] \gdw (n!)*(n!) \le k!*(2n-k)! [/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{k!*(2n-k)!} \le \bruch{1}{n!*n!} \gdw \bruch{(2n)!}{k!*(2n-k)!} \le \bruch{(2n)!}{n!*n!} \gdw {2n \choose k} \le {2n \choose n} [/mm]

Ich hoffe, dass ich hier nirgends große oder grobe Denkfehler gemacht habe ;-)

Viele Grüße
Marcel

Bezug
                
Bezug
nur ein kleiner Beweis *grummel*: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:33 Mi 28.04.2004
Autor: Marc

Hallo zusammen!

Zu Marcels Beweis ist natürlich nichts hinzuzufügen.

Ich wollte nur noch darauf hinweisen, was die gezeigte Ungleichung eigentlich bedeutet (es ist sicher sowieso allen klar, ich sag's aber trotzdem ;-))

Nun, ${2n [mm] \choose [/mm] n} [mm] \ge [/mm] {2n [mm] \choose [/mm] k}$ für alle [mm] $0\le k\le [/mm] 2n$ bedeutet, dass ein Binomialkoeffizient der Form ${2n [mm] \choose \cdot}$ [/mm] (also mit einer geraden Zahl "oben") bei $n$ (also genau in der Mitte des Intervalls [mm] $\lbrack 0,2n\rbrack_{\IN}$) [/mm] seinen größten Wert annimmt.

Da ich schon mal dabei bin, hier noch ein alternativer Beweisgang, der ein bisschen mehr die Symmetrie ausnutzt:

Wie Marcel setze ich o.B.d.A. [mm] $k\le [/mm] n$ voraus.

$n!*n!$
[mm] $=(n-1)!*\underbrace{n}_{\le n+1}*n!$ [/mm]
[mm] $\le [/mm] (n-1)!*(n+1)*n!$
$=(n-1)!*(n+1)!$
[mm] $=(n-2)!*\underbrace{(n-1)}_{\le n+2}*(n+1)!$ [/mm]
[mm] $\le [/mm] (n-2)!*(n+2)*(n+1)!$
$=(n-2)!*(n+2)!$  (ich spalte also schrittweise den größten Faktor von der linken Fakultät ab, und vergrößere ihn; das ist erlaubt, da ich die Vergrößerung ja auch durch Ungleichung vermerke)
[mm] $=\;\;\vdots$ [/mm]
$=(n-m)!*(n+m)!$ für alle [mm] $m\le [/mm] n$

Zusammenfassend gilt also (siehe erster und letzter Term der Ungleichungskette):

[mm] $n!*n!\le [/mm] (n-m)!*(n+m)!$ für alle [mm] $m\le [/mm] n$

Nun ist es nicht mehr weit bis zur eigentlich gesuchten Ungleichung:

[mm] $\gdw \bruch{1}{(n-m)!*(n+m)!}\le\bruch{1}{n!*n!}$ [/mm]
[mm] $\gdw \bruch{(2n)!}{(n-m)!*(n+m)!}\le\bruch{(2n)!}{n!*n!}$ [/mm]

Für $m:=n-k$ haben wir nun:

[mm] $\gdw \bruch{(2n)!}{k!*(2n-k)!}\le\bruch{(2n)!}{n!*n!}$ [/mm]

[mm] $\gdw [/mm] {2n [mm] \choose k}\le [/mm] {2n [mm] \choose [/mm] n}$ [mm] $\Box$ [/mm]

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                        
Bezug
nur ein kleiner Beweis *grummel*: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:52 Do 29.04.2004
Autor: David_Lynch

Vielen Dank für die anschaulichen Beweise Jungs, ihr habt mir echt weitergeholfen. Absolut verständlich formuliert, wirklich super.
besten Dank,


Bezug
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