nxn-Diagonalmatrix AB=BA < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $A=(\alpha_{k} \cdot \delta_{kl})\in [/mm] M(n,n)$ eine Diagonalmatrix mit [mm] $\alpha_{i} \neq \alpha_{j}$ [/mm] für $i [mm] \neq [/mm] j$. Zeigen Sie:
a) Ist $BA=AB$, so ist $B [mm] \in [/mm] M(n,n)$ eine Diagonalmatrix.
b) Bestimmen Sie alle reellen Matrizen $B [mm] \in [/mm] M(n,n)$ mit der Eigenschaft: $BA=AB$ für alle reellen Matrizen $A [mm] \in [/mm] M(n,n)$ |
Ich habe leider keine Idee wie ich Anfangen soll um das zu zeigen. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm]A=(\alpha_{k} \cdot \delta_{kl})\in M(n,n)[/mm] eine
> Diagonalmatrix mit [mm]\alpha_{i} \neq \alpha_{j}[/mm] für [mm]i \neq j[/mm].
> Zeigen Sie:
> a) Ist [mm]BA=AB[/mm], so ist [mm]B \in M(n,n)[/mm] eine Diagonalmatrix.
> b) Bestimmen Sie alle reellen Matrizen [mm]B \in M(n,n)[/mm] mit
> der Eigenschaft: [mm]BA=AB[/mm] für alle reellen Matrizen [mm]A \in M(n,n)[/mm]
>
> Ich habe leider keine Idee wie ich Anfangen soll um das zu
> zeigen. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Beachte bitte, daß wir von Dir Lösungsansätze erwarten.
Diese können z.B. so aussehen:
Hast Du denn die Aufagebe verstanden? Verstanden, worum es geht?
Wie sieht die Matrix A aus? mach mal ein Beispiel für n=3.
zu a)
Nimm jetzt dieses Beispiel und eine Diagonalmatrix B und probiere, ob AB=BA ist.
Nimm nun eine Matrix B, welche keine Diagoanlmatrix ist, und überzeuge Dich davon, daß die Sache so nicht funktioniert.
Man kann auch versuchen, erstmal für n=2,3 zu beweisen.
All dies sind Vorarbeiten, die einen auf eine richtige Spur bringen können.
In der Tasche habe ich auch keinen fertigen Beweis.
Ich würde jetzt rertmal für eine allgemeine Matrix B BA und AB ausrechnen und versuchen, aus der Gleichheit der Einträge der Matrix Schlüsse zu ziehen.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
erstmal danke, dass du mir die Tipps gegeben hast! Ich hab das jetzt mal probiert:
so wie ich das verstehen würde, sieht die Matrix A folgender maßen aus
[mm] A=\pmat{ \alpha_{1} & 0 & \dots & 0\\ 0 & \alpha_{2} & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots &\vdots \\0 & \dots & 0 & \alpha_{n} }
[/mm]
wenn ich jetzt ein Beispiel für n=2 rechne komme ich aber darauf, dass ich A auch mit einer Matrix B multiplizieren kann die keine Diagonalmatrix ist und BA = AB:
Sei n=2:
[mm] A=\pmat{ \alpha_1 & 0\\0&\alpha_2 }, B=\pmat{ 1 & 1\\1&1 }
[/mm]
AB = [mm] \vektor{\alpha_1 \\ \alpha_2} [/mm] = BA
das würde ja einen Widerspruch darstellen zu dem was ich in a) zeigen soll, weil B keine Diagonalmatrix ist und trotzdem AB = BA.
Kann mir jemand helfen und sagen wo mein Fehler liegt.
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Hallo Mensch_Mac,
da hast Du Dich aber verrechnet. Es kommt ja kein Vektor heraus, wenn Du zwei [mm] 2\times2- [/mm] Matrizen multiplizierst.
Dein Beispiel ist gut, die Rechnung aber nicht, denn:
> Sei n=2:
> [mm] A=\pmat{ \alpha_1 & 0\\0&\alpha_2 }, B=\pmat{ 1 & 1\\1&1 }
[/mm]
[mm] AB=\pmat{\alpha_1 & \alpha_1 \\ \alpha_2 & \alpha_2}\not= \pmat{\alpha_1 & \alpha_2 \\ \alpha_1 & \alpha_2}=BA
[/mm]
> das würde ja einen Widerspruch darstellen zu dem was ich in a) zeigen soll, weil
> B keine Diagonalmatrix ist und trotzdem AB = BA.
Eben nicht.
Grüße,
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
a) erledigt man mit Definition der Matrizenmultiplikation:
Sei B = [mm] (b_{jk}) [/mm] und sei AB = [mm] (c_{jk}) [/mm] = BA
Für j [mm] \not= [/mm] k :
[mm] c_{jk} [/mm] berechnet sich aus AB zu [mm] c_{jk} [/mm] = [mm] \alpha_j b_{jk} [/mm] und aus BA zu [mm] c_{jk} [/mm] = [mm] \alpha_k b_{jk}. [/mm] Da [mm] \alpha_j \not= \alpha_k [/mm] , folgt: [mm] b_{jk} [/mm] = 0.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu b) Es gelte AB = BA für jedes A.
Nach a) ist B eine Diagonalmatrix. Multipliziere B mit der Matrix A, die nur aus Einsen besteht. Dann siehst Du: B ist ein Vielfaches der Einheitsmatrix.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Mensch_Mac |
Danke Fred, ich hab die Aufgabe dank deiner Hilfe jetzt geschafft, jetzt habe ich das mit der Matrixmultiplikation endlich verstanden. 
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