oberflächenintegral 2. art < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Sa 20.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Berechnen SIe das Oberflächenintegral 2. Art
[mm] \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{x dydz + y dxdz + (x^{2}+y^{2})z dxdy}
[/mm]
über die Oberfläche von K ={( x,y,z): [mm] x^{2}+y^{2} \le R^{2} [/mm] und |z| [mm] \le [/mm] 1}
a) direkt
b) Über den Integralsatz von Gauß |
Hallo!
Komme mit dieser Aufgabe nicht ganz zurecht
und zwar Probiere ich mich gerade am Teil a.
Direkt heißt für mich, dass ich die Definition des Oberflächenintegrals 2. Art anwende, und daher eine Parameterdarstellung brauche mit u und v, sodass ich davon die determinante als integrand bilden kann.
ich habe daher x= R* sinucosv y= R*sinusinv und z= Rcosu
nach den Kugelkoordinaten gewählt
daher bekomme ich dann für fx= R* sinucosv
fy= y= R*sinusinv
und fz= [mm] R^{3}sin^{2}(u)cos(u)
[/mm]
jeweils die ableitungen nach u und v:
fxu= Rcos(u) *cos (v)
fxv = - R* sinu sinv
fyu = R* cosusinv
fyv= Rsinucosv
fzu = [mm] R^{3}*sinu*(3cos^{2}(u)-1)
[/mm]
fzv= 0
für die determinante komme ich dann auf
[mm] -R^{5}(2*sin^{3}(u)*cos^{2}(u)+sin^{3}(u)
[/mm]
das ist nun aber ganz schön unschön zum integrieren...
wo steckt der fehler,
oder muss ich das anderst lösen?
Was sind denn eigentlich die Integrationsgrenzen
für u: 0 bis 2 [mm] \pi
[/mm]
und für v: 0 bis [mm] \pi'? [/mm] (bin mir da nicht so sicher)
für den weg b) über den integralsatz von Gauß,
div F= [mm] 2+x^{2}+y^{2}
[/mm]
jetzt bin ich mir nur unsicher über die integrationsgrenzen,
hätte das in zylinderkoordinaten gelöst und dann:
[mm] \integral_{-1}^{1}{}\integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{0}^{R}{2r+ r^{3}dr d\phi dz}
[/mm]
vielen dank fürs drübersehen wäre mir eine große hilfe,
komme ansonsten nicht weiter!
danke
lg
muhmuh
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Wieso benutzt du bei der a) Kugelkoordinaten, um eine Zylinderoberfläche zu parametrisieren? Hier sind natürlich auch Zylinderkoordinaten angesagt.
Die b) sieht schon besser aus. Die Integrationsgrenzen sind richtig.
Gruß,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Sa 20.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hm,
ich habe bisher nur ein beispiel gerechnet zu diesen aufgaben, und da war es eben mit kugelkorrdinaten.
bin auch ein bisschen irritiert wie ich das dann parametrisieren müsste
zylinderkoordinaten wären ja dann
x=R*cos u
y= R*sin u
Z=v ???
dann wäre
fx= r*cosu fy= r*sinu fz= [mm] r^{2}v
[/mm]
fxu= -rsinu fyu=rcosu fzu= 0
fxv = 0 fyv=0 fzv= [mm] r^{2}
[/mm]
die determinante wäre dann [mm] r^{4}
[/mm]
[mm] \integral_{-1}^{1}{}\integral_{0}^{2\pi}{r^{4}dudv}
[/mm]
aber das ist ja dann etwas anderes als mit gauß,
wo ist nun der fehler?
danke fürs drüberschauen,
lg
muhmuh
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich habe bisher nur ein beispiel gerechnet zu diesen
> aufgaben, und da war es eben mit kugelkorrdinaten.
Und deswegen rechnest du jetzt immer damit?!
> zylinderkoordinaten wären ja dann
>
> x=R*cos u
> y= R*sin u
> Z=v ???
Für passende u und v ...
>
> dann wäre
>
> fx= r*cosu fy= r*sinu fz= [mm]r^{2}v[/mm]
>
> fxu= -rsinu fyu=rcosu fzu= 0
> fxv = 0 fyv=0 fzv= [mm]r^{2}[/mm]
>
>
> die determinante wäre dann [mm]r^{4}[/mm]
Das soll was bedeuten? Skalarprodukt der beiden Vektoren, also Gramsche Determiannte?!
> [mm]\integral_{-1}^{1}{}\integral_{0}^{2\pi}{r^{4}dudv}[/mm]
Herzlichen Glückwunsch, sie haben die Fläche der Mantelfläche des Zylinders ausgerechnet!  Erstens fehlen hier noch oben und unten (also Boden und dEckel), die du anders parametriesieren solltest (du kannst das Integral aufteilen und für jeden Teil eine andere Param. benutzen). Zweitens solltest du noch die eigentlich Funktion ins Spiel bringen - so rechnest du nur die Fläche aus!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Sa 20.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ne das heisst natuerlich nicht, dass ich das nun immer so mache,
habe einfahc nicht realisiert, dass es ein zylinder ist.
für die determinante habe ich schon die funktion beachtet, denn es geht [mm] r^{2}v [/mm] für z ein
wie bestimme ich nun die deckelfläche und Bodenfläche?
Die sind ja beide gleich groß.
ist das nicht einfach [mm] 2\pi R^{2}
[/mm]
also Insgesamt: 4* [mm] \pi* R^{2}+ 4*\pi R^{4}
[/mm]
mein einziges Problemist nun, dass sich Rechenweg a und b
vom Ergebnis um den Faktor 4 vor der [mm] R^{4} [/mm] unterscheiden.
Ich seh einfach nicht, was nicht passt.
danke für die geduldigen tips,
muhmuh
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> für die determinante habe ich schon die funktion beachtet,
> denn es geht [mm]r^{2}v[/mm] für z ein
??? Könntest du vielleicht ausführen, was du alles gemaht hast - und warum (also welche Sätze ihr wie formuliert hattet). Ich bin nicht so fit im Rumrechnen mit Untermanigfaltigkeiten und gewissen Kalkülen, das musst du mir nachsehen und es ein bisschen ausfürhlicher machen, wie du von deiner Funktion auf das Integral kommst - und bitte gib dir mit dem Formeleditor Mühe, es ist schwer sonst die Sachen zu lesen! Vielen Dank!
> wie bestimme ich nun die deckelfläche und Bodenfläche?
Das willst du nicht. Du willst die Integrale bestimmen bzgl. der Funktion.
> ist das nicht einfach [mm]2\pi R^{2}[/mm]
>
> also Insgesamt: 4* [mm]\pi* R^{2}+ 4*\pi R^{4}[/mm]
Und was bringt dir das, du hast die Fläche bestimmt. Und nicht die Funktion / Vektor / 2-Form integriert. Ich sehe eine 2-Form als Integranten. Wie habt ihr das gemacht, diese zu integrieren?
> mein einziges Problemist nun, dass sich Rechenweg a und b
> vom Ergebnis um den Faktor 4 vor der [mm]R^{4}[/mm] unterscheiden.
???
> Ich seh einfach nicht, was nicht passt.
Ich auch nicht. Du verwirrst mich auch komplett.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Sa 20.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok,
also den satz den wir dazu haben, ist dies:
[mm] \integral_F_{}^{}{\overrightarrow{F}}d\overrightarrow{A}= \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{\vmat{ F_x & F_y & F_z \\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v}dudv}
[/mm]
daher habe ich
$ [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{x dydz + y dxdz + (x^{2}+y^{2})z dxdy} [/mm] $= [mm] \integral_{-1}^{1}{}\integral_{0}^{2\pi}{\vmat{ r*cosu & r*sinu & r^{2}v\\ -rsinu & rcosu & 0\\ 0 & 0& r^{2}}dudv} [/mm] + Deckel+ Boden
= [mm] \integral_{-1}^{1}{}\integral_{0}^{2\pi}{r^{4}dudv}+ [/mm] Deckel + Boden
da wir bisher dies nur über kugeln gemacht haben, weiss ich nicht, wie das nun mit dem Deckel und Boden läuft.
z ist dort ja konstant, daher wäre es ja [mm] x^{2}+y^{2} \le R^{2}
[/mm]
wie gehe ich nun vor?
tut mir leid, dass ich mich so undeutlich ausdrücke,
weiss aber wirklich nicht genau, wie das läuft, da man das nicht anhand von definitionen ergründen kann.
gruß
muhmuh
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> also den satz den wir dazu haben, ist dies:
Gut, jetzt bin ich Fahrwasser.
> da wir bisher dies nur über kugeln gemacht haben, weiss
> ich nicht, wie das nun mit dem Deckel und Boden läuft.
Polarkoordinaten! Ich paramterisiere mal den oberen Kreis (z=1): [m][0,2*\pi]\times[0,R]\to\IR^3,(\phi,r)\mapsto (r*\cos(\phi),r*\sin(\phi),1)[/m]
> z ist dort ja konstant, daher wäre es ja [mm]x^{2}+y^{2} \le R^{2}[/mm]
Immer schön einbetten! Und dann die Ableitungen der Param ausrechnen, dann deine Determinante.
Und dann schauen wir weiter.
> tut mir leid, dass ich mich so undeutlich ausdrücke,
Die Formulierung eurer Sätze sind wichtig - es gibt viele Arten, dass zu beschreiben!
> weiss aber wirklich nicht genau, wie das läuft, da man das
> nicht anhand von definitionen ergründen kann.
Die Sätze kann man an Hand von Definitionen ergründen! Das genaue Vorgehen braucht Übung - eine belieibig geg. Untermgf. mit bel. funktion macht uns Menschen starke Probleme beim Integrieren. Daher suchen wir nach Symmterien und Vereinfachungen - eben Übung.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Sa 20.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hm,ich komme mit deiner Darstellung nicht klar,
dass es Polarkoordinaten sind ist klar und auch die Grenzen verstehe ich,
dass dann z=1 gesetzt wird, ok.
dann wäre es doch:
[mm] f_x= r*cos\phi f_y [/mm] = r* [mm] sin\phi f_z= r^{2}*1 [/mm] oder ?
mein Problem ist nun, wenn ich nun die Determinante bilde:
[mm] {\vmat{ r\cdot{}cosu & r\cdot{}sinu & r^{2}\\ -rsinu & rcosu & 0\\ 0 & 0& 0}dudv}
[/mm]
dann habe ich doch eine Nullzeile
-> det =0 -> integral null
und das kann ja nicht sein,
was hab ich denn nun schon wieder falsch gemacht?:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> dass dann z=1 gesetzt wird, ok.
> dann wäre es doch:
> [mm]f_x= r*cos\phi f_y[/mm] = r* [mm]sin\phi f_z= r^{2}*1[/mm] oder ?
Du könntest dir *deutlich* mehr Mühe geben, das lesbar darzustellen. Es gibt eine Vorschaufunktion! Was sind deine [m]f_\{x,y,z\}[/m]? Die Komponenten der Parametrisierung? Das stimmt nicht, ich habe dir explizit (!!) eine andere hingeschrieben. Ich lese mir den Salat erst wieder durch, wenn du die einzelnen Teile getrennt mit dem Formeleditor hingeschrieben hast. So ist mir das zu mühsam ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Sa 20.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
meine [mm] f_x, f_y [/mm] und [mm] f_z [/mm] sind die komponenten für die determinante
also
[mm] f_x [/mm] = x [mm] f_y [/mm] = y [mm] f_z [/mm] = [mm] (x^{2}+y^{2})z
[/mm]
und nach deiner Parametrisierung ergibt sich eben:
[mm] f_x= r\cdot{}cos\phi [/mm]
[mm] f_y [/mm] = r* [mm] sin\phi [/mm]
[mm] f_z= r^{2}\cdot{}1 [/mm]
aber anscheinend haut das ja dann nicht hin.
danke fürs nochmal anschauen,
s ist halt blöde, wenn man leerzeilen ins skript eingibt und die dann aber aus irgendwelchen gründen ignoriert werden und es daher so zusammengeschrieben dargestellt wird.
gruß
muhmuh
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> meine [mm]f_x, f_y[/mm] und [mm]f_z[/mm] sind die komponenten für die
> determinante
> also
> [mm]f_x[/mm] = x [mm]f_y[/mm] = y [mm]f_z[/mm] = [mm](x^{2}+y^{2})z[/mm]
Nimm die "=" mit in die Formlen, also so: [m]f_z = x^{2}+y^{2})z[/m]. Aber immerhin lesbarer!
> und nach deiner Parametrisierung ergibt sich eben:
>
> [mm]f_x= r\cdot{}cos\phi[/mm]
> [mm]f_y[/mm] = r* [mm]sin\phi[/mm]
> [mm]f_z= r^{2}\cdot{}1[/mm]
Ja.
> aber anscheinend haut das ja dann nicht hin.
Doch. Ich habe die Variablen r und [m]\phi[/m] benutzt. Du musst also die Param einmal nach r, einmal nach [m]\phi[/m] ableiten - das hast du falsch gemacht, wie ich jetzt oben erkennen kann.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Sa 20.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok, danke für deine Geduld,
nun ist es mir klarer.
für das Integral gilt dann:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{0}^{R}{r^{3}}= \bruch{\pi}{2} R^{4}
[/mm]
-> Aus Symmetriegründen verhält es sich mit dem Boden genau gleich ->
das Gesamtergebnis ist also
4 [mm] \pi R^{2} [/mm] + [mm] R^{4}
[/mm]
was mit dem ergebnis aus teil b übereinstimmt.
danke und gute nacht,
muhmuh
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 So 21.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\integral_{-1}^{1}{}\integral_{0}^{2\pi}{\vmat{ r*cosu & r*sinu & r^{2}v\\ -rsinu & rcosu & 0\\ 0 & 0& r^{2}}dudv}[/mm]
Richtig ist vielmehr: [mm]\integral_{-1}^{1}{}\integral_{0}^{2\pi}{\vmat{ R*cosu & R*sinu & R^{2}v\\ -R \sin(u) & R\cos(u) & 0\\ 0 & 0& 1}du\,dv}[/mm], was dann [m]4*\pi*R^2[/m] ergibt, was du mit unseren Ergebnissen für Deckel und Boden dann das gewünschte ergibt.
Btw, man muss hier auch immer höllisch aufpassen, dass bei den Parametrisierungen die Normale nach außen zeigt. Deswegen haben Deckle und Boden das gleiche Integral: eigentlich kippt das Vorzeichen von z, dh man integiert über das negative des anderen - wenn man nicht auch die Normale kippen müsste, aber das muss man und es heben sich die Vorzeichen weg!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 So 21.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
guten morgen!
hm,
warum muss es dort in der Determinante 1 sein?
Ich rechne doch [mm] \bruch{d}{dv} r^{2}v [/mm]
und vabgeleitet ergibt 1 das ist klar, aber den Vorfaktor muss ich doch eigentlich mitnehmen, oder?
danke,
muhmuh
hab den fehler erkannt,
oben in der ersten Zeile für die Determinante stehen ja die [mm] F_x [/mm] , [mm] F_y [/mm] und [mm] F_z [/mm] Komponenten,
in den anderen Reihen, stehen die Partiellen Ableitungen der Koordinaten,
und da in diesem fall z= v ist
ist, es dann wirklich nur 1.
ich weiss leider nicht wie ich einen frageartikel in eine mitteilung verwandele,....
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