Öffnung Kiste 90° < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:42 Di 16.12.2014 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Aufgabe
Eine quaderförmige Kiste ist in einem Koordinatensystem durch die Eckpunkte $ A ( 0 | 0 | 0 ), B ( 3 | 0 | 0 ), D ( 0 | 5 | 0 ) und F ( 3 | 0 | 4 ) $ festgelegt.
Die Fläche $ EFGH $ stellt den Deckel der geschlossenen Kiste dar.
Dieser ist drehbar um die Kante $ EH $
=> E (0/0/4) H(0/5/4)
Gegeben ist eine Ebenenschar [mm] E_t [/mm]
[mm] E_t [/mm] : [mm] t*x_1 -x_3 [/mm] = -4
Diese Ebene stellt in Abhängigkeit von t, die Ebene des Deckels der Kiste dar, je nach gewähltem Öffnungswinkel. Denke ich. (?!)
Warum ergibt sich aber keine Ebene, wenn der Öffnungswinkel 90° beträgt? |
Moin Moin!
Bei 90 würden neben den Punkten E und H auch noch der Punkt F* in der Ebene liegen; da ich von F die Länge der Kante EF ( 3 LE) nach oben gehen muss, ergibt sich für F* (0 / 0 / 7).
Wenn ich diesen Puntk in die Ebenenschar [mm] E_t [/mm] einsetze...
t*0 -7 = -4 ergibt sich ein Widerspruch.
Woran liegt das?
Liegt das daran, dass die Ebene [mm] E_t [/mm] eine x1x3-Ebene ist und [mm] x_2 [/mm] beliebig gewählt werden kann...
während bei 90° Öffnung eine [mm] x_2x_3-Ebene [/mm] entsteht?
Ich blicke nicht ganz durch?
Im Prinzip ist der Deckel um EH frei drehbar. Woran liegt es, dass [mm] E_t [/mm] dann die Stellung 90°-Winkel nicht enthält?
Wenn ich aus den drei Punkten EHF* eine Ebene in Parameterform erstelle, und diese in [mm] E_t [/mm] einsetze
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 4 } [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 5 \\ 0 } [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
t*(0) -(4+3*s) = -4 => s= 0
Aber was bedeutet das???
Keine Idee!!
Wer kann mir ein paar Hinweise geben, wie das zusammenhängt?
Wie hängt das ganze mit der [mm] x_2-Richtung [/mm] zusammen?
Entsteht da eine Gerade?
???
Danke für eure Hilfe!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:31 Di 16.12.2014 | | Autor: | Fulla |
> Aufgabe
> Eine quadratische Kiste ist in einem Koordinatensystem
> durch die Eckpunkte [mm]A ( 0 | 0 | 0 ), B ( 3 | 0 | 0 ), D ( 0 | 5 | 0 ) und F ( 3 | 0 | 4 )[/mm]
> festgelegt.
> Die Fläche [mm]EFGH[/mm] stellt den Deckel der geschlossenen Kiste
> dar.
> Dieser ist drehbar um die Kante [mm]EH[/mm]
>
> => E (0/0/4) H(0/5/4)
>
> Gegeben ist eine Ebenenschar [mm]E_t[/mm]
>
> [mm]E_t[/mm] : [mm]t*x_1 -x_3[/mm] = -4
>
> Diese Ebene stellt in Abhängigkeit von t, die Ebene des
> Deckels der Kiste dar, je nach gewähltem Öffnungswinkel.
> Denke ich. (?!)
>
> Warum ergibt sich aber keine Ebene, wenn der
> Öffnungswinkel 90° beträgt?
> Moin Moin!
>
> Bei 90 würden neben den Punkten E und H auch noch der
> Punkt F* in der Ebene liegen; da ich von F die Länge der
> Kante EF ( 3 LE) nach oben gehen muss, ergibt sich für F*
> (0 / 0 / 7).
>
> Wenn ich diesen Puntk in die Ebenenschar [mm]E_t[/mm] einsetze...
>
> t*0 -7 = -4 ergibt sich ein Widerspruch.
Hallo hase-hh,
damit hast du gezeigt, dass F*, btw. die "90°-Ebene" nicht teil der Schar ist.
> Woran liegt das?
>
> Liegt das daran, dass die Ebene [mm]E_t[/mm] eine x1x3-Ebene ist und
> [mm]x_2[/mm] beliebig gewählt werden kann...
>
> während bei 90° Öffnung eine [mm]x_2x_3-Ebene[/mm] entsteht?
Es gibt nur die [mm]x_1x_3[/mm]-Ebene und [mm]E_t[/mm] ist das nicht... Von [mm]x_2[/mm] hängt das ganze zwar ab, aber nicht nur.
> Ich blicke nicht ganz durch?
>
> Im Prinzip ist der Deckel um EH frei drehbar. Woran liegt
> es, dass [mm]E_t[/mm] dann die Stellung 90°-Winkel nicht
> enthält?
>
> Wenn ich aus den drei Punkten EHF* eine Ebene in
> Parameterform erstelle, und diese in [mm]E_t[/mm] einsetze
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 4 }[/mm] + [mm]r*\vektor{0 \\ 5 \\ 0 }[/mm] +
> [mm]s*\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
>
>
> t*(0) -(4+3*s) = -4 => s= 0
Wie kommst du auf diese Zeile?
> Aber was bedeutet das???
Ich hab jetzt nicht nachgerechnet, aber ich komme von deiner Ebene in Parameter darstellung auf [mm]E:\ x_1=-4[/mm] und das sieht für kein [mm]t[/mm] aus wie [mm]E_t[/mm], also ist [mm]E\not\subset E_t[/mm].
> Keine Idee!!
>
> Wer kann mir ein paar Hinweise geben, wie das
> zusammenhängt?
>
> Wie hängt das ganze mit der [mm]x_2-Richtung[/mm] zusammen?
> Entsteht da eine Gerade?
Ja, für den Öffnungswinkel von 90° kommt bei der Schar [mm]E_t[/mm] eine Gerade raus. Das liegt daran, dass für alle Punkte der "echten" Ebene, die den Deckel bei 90°-Öffnung beschreibt, gilt [mm]x_1=0[/mm]. [mm]x_2[/mm] ist irrelevant, da es in der Gleichung für [mm]E_t[/mm] nicht vorkommt und [mm]x_3[/mm] ist beliebig - sagen wir mal [mm]x_3=d[/mm]. Dann haben alle Punkte dieser speziellen Ebene die Form [mm]\vec x=\vektor{0\\ \text{egal}\\ d}[/mm]. Jetzt prüfe ich, ob diese Punkte teil der Schar [mm]E_t[/mm] sind: [mm]E_t:\ t*x_1-x_3=-4\quad\Longleftrightarrow\quad t*0-d=-4\quad\Longleftrightarrow\quad d=4[/mm]. Also sind nur die Punkte teil der Schar, für die [mm]x_3=d=4[/mm] gilt - das ist genau die Gerade [mm]\vec X=\vektor{0\\ 0\\ 4}+\lambda *\vektor{0\\ 1\\ 0}[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Di 16.12.2014 | | Autor: | hase-hh |
Moin Fulla,
vielen Dank für deine Antwort!!
> Warum ergibt sich aber keine Ebene, wenn der
> Öffnungswinkel 90° beträgt?
[mm] E_t [/mm] : [mm] t*x_1 [/mm] -x:3 = -4
> Es gibt nur die [mm]x_1x_3[/mm]-Ebene und [mm]E_t[/mm] ist
> das nicht... Von [mm]x_2[/mm] hängt das ganze zwar ab, aber nicht nur.
Sind das aber nicht alles zur [mm] x_1x_3-Ebene [/mm] parallele Ebenen?
> > Im Prinzip ist der Deckel um EH frei drehbar. Woran
> liegt
> > es, dass [mm]E_t[/mm] dann die Stellung 90°-Winkel nicht
> > enthält?
> >
> > Wenn ich aus den drei Punkten EHF* eine Ebene in
> > Parameterform erstelle, und diese in [mm]E_t[/mm] einsetze
> >
> > [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 4 }[/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 5 \\ 0 } [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
> >
> > t*(0) -(4+3*s) = -4 => s= 0
>
> Wie kommst du auf diese Zeile?
Ich setze die Ebene E EHF* in [mm] E_t [/mm] ein
t*(0 +0*r+0*s) - (4+0*r+4*s) = -4
> > Aber was bedeutet das???
>
> Ich hab jetzt nicht nachgerechnet, aber ich komme von
> deiner Ebene in Parameter darstellung auf [mm]E:\ x_1=-4[/mm] und
> das sieht für kein [mm]t[/mm] aus wie [mm]E_t[/mm], also ist [mm]E\not\subset E_t[/mm].
>
Ich komme auf [mm] x_1 [/mm] = 0
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{15 \\ 0 \\0}
[/mm]
( [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\4})*\vektor{15 \\ 0 \\0} [/mm] = 0
[mm] 15x_1 [/mm] = 0 bzw. [mm] x_1 [/mm] = 0
??
> > Keine Idee!!
> >
> > Wer kann mir ein paar Hinweise geben, wie das
> > zusammenhängt?
> >
> > Wie hängt das ganze mit der [mm]x_2-Richtung[/mm] zusammen?
> > Entsteht da eine Gerade?
>
> Ja, für den Öffnungswinkel von 90° kommt bei der Schar
> [mm]E_t[/mm] eine Gerade raus. Das liegt daran, dass für alle
> Punkte der "echten" Ebene, die den Deckel bei 90°-Öffnung
> beschreibt, gilt [mm]x_1=0[/mm]. [mm]x_2[/mm] ist irrelevant, da es in der
> Gleichung für [mm]E_t[/mm] nicht vorkommt und [mm]x_3[/mm] ist beliebig -
> sagen wir mal [mm]x_3=d[/mm]. Dann haben alle Punkte dieser
> speziellen Ebene die Form [mm]\vec x=\vektor{0\\ \text{egal}\\ d}[/mm].
> Jetzt prüfe ich, ob diese Punkte teil der Schar [mm]E_t[/mm] sind:
> [mm]E_t:\ t*x_1-x_3=-4\quad\Longleftrightarrow\quad t*0-d=-4\quad\Longleftrightarrow\quad d=4[/mm].
> Also sind nur die Punkte teil der Schar, für die [mm]x_3=d=4[/mm]
> gilt - das ist genau die Gerade [mm]\vec X=\vektor{0\\ 0\\ 4}+\lambda *\vektor{0\\ 1\\ 0}[/mm].
>
Lieben Gruß
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Di 16.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
für den geschlossenen Deckel ist t=0 , dann wird t immer grösser, für fast ganz geöffneten Deckel beliebig groß , bei geöffnetem Deckel dann [mm] \infty,
[/mm]
wenn du das t zu [mm] x_3 [/mm] schreibst, kannst du die Ebene auch beschreiben, dann ist der geschlossene Deckel nicht dabei.
ich hab es nicht durchüberlegt, aber [mm] t*x_1-(t-1)*x_3=-4 [/mm] beschreibt die ebene wohl besser mit t [mm] \in [/mm] [0,1]
Gruß leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 17.12.2014 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
1. Frage... @Fulla
> Ich hab jetzt nicht nachgerechnet, aber ich komme von
> deiner Ebene in Parameter darstellung auf $ E:\ [mm] x_1=-4 [/mm] $ und
> das sieht für kein $ t $ aus wie $ [mm] E_t [/mm] $, also ist $ [mm] E\not\subset E_t [/mm] $.
>
Ich komme auf $ [mm] x_1 [/mm] $ = 0
$ [mm] \vec{n} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{15 \\ 0 \\0} [/mm] $
( $ [mm] \vec{x} [/mm] $ - $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\4})\cdot{}\vektor{15 \\ 0 \\0} [/mm] $ = 0
$ [mm] 15x_1 [/mm] $ = 0 bzw. $ [mm] x_1 [/mm] $ = 0
2. Frage... @leduart
Wenn de rÖffnungswinkel größer als 90° ist, würde isch dann ein negatives t ergeben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Fulla |
> Moin!
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> 1. Frage... @Fulla
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> > Ich hab jetzt nicht nachgerechnet, aber ich komme von
> > deiner Ebene in Parameter darstellung auf [mm]E:\ x_1=-4[/mm]
> und
> > das sieht für kein [mm]t[/mm] aus wie [mm]E_t [/mm], also ist
> [mm]E\not\subset E_t [/mm].
>
> >
>
> Ich komme auf [mm]x_1[/mm] = 0
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{15 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> ( [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 0 \\4})\cdot{}\vektor{15 \\ 0 \\0}[/mm]
> = 0
>
> [mm]15x_1[/mm] = 0 bzw. [mm]x_1[/mm] = 0
Hallo Wolfgang,
ok, die Ebene hast du richtig in die parameterfreie Form gebracht (ich habe mich da oben verrechnet). Aber sie ist trotzdem nicht Teil der Schar [mm]E_t[/mm], denn es gibt kein [mm]t\in\mathbb R[/mm] so, dass [mm]E_t:\ t*x_1-x_3=-4[/mm] zu [mm] $x_1=0$ [/mm] wird.
Anschaulich kann man [mm] $E_t$ [/mm] so beschreiben: Für $t=0$ ist die Ebene der "Deckel" der Kiste. Wird $t$ größer, dreht sich die Ebene um $EH$, d.h. der Deckel wird geöffnet. Dabei nähert sich die Lage des Deckels immer mehr der Senkrechten an, erreicht sie aber nie (das haben wir oben quasi nachgerechnet).
Wenn man für $t$ negative Werte einsetzt, dreht sich die Ebene in die andere Richtung. Betrachte dabei Kiste als 180° geöffnet. Wird $t$ jetzt kleiner, beginnt sie sich zu schließen und nähert sich wieder der 90°-Stellung.
Noch eine andere Betrachtungsweise: [mm] $t*x_1-x_3=-4$ [/mm] kannst du umstellen zu [mm] $x_3=t*x_1+4$. [/mm] Dies beschreibt eine Gerade in der [mm] $x_1x_3$-Ebene [/mm] mit der Steigung $t$. Man schaut also von der Seite auf die Kiste und sieht die Deckel-Ebene als Gerade.
Bei der 90°-Stellung wäre die Steigung dieser Gerade unendlich groß...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mi 17.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ab 90° musst du die Richtung der Normalen umdrehen, als alles negativ. d.h t und (t-1) negativ
Gruß leduart
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