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| Aufgabe | [mm] \IR [/mm] trage die Euklidische Topologie. Welche Teilmengen des Produktraumes [mm] \IR^{\IR} [/mm] sind offen, welche (folgen-)abgeschlossen?
A={f:f(0)=0}, B={f:f stetig}, C={f: f offen}, D={f: es gibt ein x [mm] \in \IR [/mm] mit f(x)>0} |
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weit, weil ich nicht weiß, wie ich mir offen und abgeschlossen bei solchen Mengen von Funktionen vorstellen kann.
Intuitiv würde ich sagen, dass D offen ist, weil die Bedingung an ein halboffenes Intervall erinnert (Beweis: keine Ahnung).
Bei den anderen müsste ich raten....
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Sa 17.12.2011 | | Autor: | hippias |
Vielleicht ist es nicht immer angebracht sich etwas "vorstellen" zu muessen. Sage mir doch bitte, wie ihr die Produktopologie definiert habt- denn mit dieser Topologie wird [mm] $\IR^{\IR}$ [/mm] hier wohl ausgestattet sein. Mit Hilfe dieser Angabe sollte man Dir weiterhelfen koennen.
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Wir haben die Produktopologie als die Initialtopologie bezüglich der Projektionen definiert. Also wenn [mm] p_i X\to X_i [/mm] , [mm] x\mapsto x_i [/mm] die i-te Projektion ist und T die Euklidische Topologie auf [mm] \IR, [/mm] dann ist [mm] \cup \{ p_i^{-1}[U]:U\in t\} [/mm] eine Subbasis der Produktopologie.
Die Produktopologie ist die gröbste Topologie bezüglich derer alle Projektionen stetig sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Sa 17.12.2011 | | Autor: | hippias |
Gut. Wenn nun [mm] $x\in \IR$, $\pi_{x}:\IR^{\IR}\to \IR$ [/mm] die Projektion auf $x$ und [mm] $f\in \IR^{\IR}$ [/mm] ist, so ist also [mm] $\pi_{x}(f)= [/mm] f(x)$. Und nun kann man sich ein paar offene Mengen des [mm] $\IR^{\IR}$ [/mm] vielleicht doch vorstellen: Ist naemlich [mm] $U\subseteq \IR$ [/mm] offen, so ist [mm] $\pi^{-1}_{x}(U)$ [/mm] die (offene) Menge aller Funktionen $f$ mit [mm] $f(x)\in [/mm] U$.
$A$ ist nun abgeschlossen: Z.B. weil $A= [mm] \pi_{0}^{-1}(0)$ [/mm] (= das vollstaendige Urbild von $0$ unter der Projektion auf $0$) und weil diese Abbildung nach Definition stetig ist.
$B$ ist z.B. nicht offen: Denn ist $f$ stetig und $U$ offene Umgebung von $f$ so existieren nach Definition der Produkttopologie [mm] $x_{1},\ldots,x_{n}\in \IR$ [/mm] und offene Mengen [mm] $U_{i}\subseteq \IR$ [/mm] mit [mm] $f\in \cap_{i=1}^{n} \pi_{x_{i}}^{-1}(U_{i})\subseteq [/mm] U$. Sei jetzt [mm] $x\in \IR\setminus \{x_{1},\ldots, x_{n}\}$ [/mm] und [mm] $y\in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)\neq [/mm] y$. Definiert man nun etwa [mm] $g:\IR\to \IR$ [/mm] $g(z):= [mm] \begin{cases} f(z) & z\neq x \\ y & z= x \end{cases}$, [/mm] so folgt offenbar [mm] $g\in \cap_{i=1}^{n} \pi_{x_{i}}^{-1}(U_{i})$, [/mm] aber $g$ ist nicht stetig.
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> [mm]\IR[/mm] trage die Euklidische Topologie. Welche Teilmengen des
> Produktraumes [mm]\IR^{\IR}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sind offen, welche
> (folgen-)abgeschlossen?
> A={f:f(0)=0}, B={f:f stetig}, C={f: f offen}, D={f: es
> gibt ein x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit f(x)>0}
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weit, weil ich nicht
> weiß, wie ich mir offen und abgeschlossen bei solchen
> Mengen von Funktionen vorstellen kann.
>
> Intuitiv würde ich sagen, dass D offen ist, weil die
> Bedingung an ein halboffenes Intervall erinnert (Beweis:
> keine Ahnung).
>
> Bei den anderen müsste ich raten....
>
> Danke für eure Hilfe!
A ist Urbild einer abgeschlossenen Menge unter der stetigen Abbildung f\mapsto f(0) und somit abgeschlossen.
Analog ist für festes x die Menge D_x=\{f: f(x)>0\} offen. Damit ist auch D als Vereinigung aller D_x offen.
Bei B würde ich so argumentieren (ich hoffe, das stimmt so):
Konvergenz von f_n gegen f bezüglich der Produkttopologie bedeutet punktweise Konvergenz. Da der punktweise Limes stetiger Funktionen nicht stetig sein muss, ist B nicht abgeschlossen.
Zudem liegen in jeder Umgebung einer stetigen Funktion auch unstetige Funktionen, sodass B auch nicht offen ist.
Für C sollte man bezüglich der Abgeschlossenheit ähnlich argumentieren können (betrachte z.B die Folge offener Funktionen f_n(x)=\frac{x}{n}, die gegen die nicht offene Nullfunktion konvergiert).
Zur Offenheit von C fehlt mir momentan eine gute Idee.
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