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| Aufgabe | Sei M, N glatte Mannigfaltigkeiten und f [mm] \in C^{\infty}(M,N) [/mm] eine injektive immersion. Sei f zusätzlich eine Einbettung.
Zeige, dass f eine offene Abbildung ist. |
Hallo,
Also ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe:
wenn f eine Einbettung ist, bedeutet das per definition , dass
M [mm] \cong [/mm] f(M), also f ist ein homöomorphismus zu seinem Bild.
Aber dieser Homöomorphismus ist bezüglich der induzierten Teilraumtopologie von M auf f(M).
Nun folgt sehr leicht, dass wenn U [mm] \subset [/mm] M offen => f(U) offen in f(M).
Damit nun aber auch f(U) offen in N ist, muss doch f(M) offen in N sein.
Ich sehe nicht warum das der Fall sein sollte. Vielleicht kann mir hier jemand helfen.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 So 26.12.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich sehe nicht warum das der Fall sein sollte. Vielleicht
> kann mir hier jemand helfen.
(Lokaler) Umkehrsatz für differenzierbare Funktionen von vollem Rang.
SEcki
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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe. Also ich habe keinen Satz mit genau deinen Worten gefunden. Meinst du den "Satz von der Umkehrabbildung" wie sie z.B. in Wikipedia im Artikel zum "Satz über implizite Funktionen" steht?
Da sehe ich, dass dies für den [mm] \IR^n [/mm] gilt. Gilt der auch für abstrakt topologische Räume?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Mo 27.12.2010 | | Autor: | SEcki |
> Da sehe ich, dass dies für den [mm]\IR^n[/mm] gilt. Gilt der auch
> für abstrakt topologische Räume?
Nun, fuer Manigafltigkeiten - da sie lokal wie der [m]\|R^n[/m] sind.
Mir ist noch was aufgefallen: so, wie die Aufgabe da steht ist sie falsch. Ich habe implizit noch angenommen, dass die beiden Mgf. gleiche Dimension haben.
SEcki
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Hallo,
Also laut Aufgabenstellung ist dies nicht gefordert. Laut Aufgabenstellung ist sogar im Gegenteil angegeben dass die Dimension m bzw. n sein sollen.
Kannst Du mir erklären, warum du der Ansicht bist, dass diese Aufgabe andernfalls(d.h. mit verschiedenen Dimensionen) nicht lösbar ist?
Besten Dank
Liebe Grüße
r.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 28.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also laut Aufgabenstellung ist dies nicht gefordert. Laut
> Aufgabenstellung ist sogar im Gegenteil angegeben dass die
> Dimension m bzw. n sein sollen.
>
> Kannst Du mir erklären, warum du der Ansicht bist, dass
> diese Aufgabe andernfalls(d.h. mit verschiedenen
> Dimensionen) nicht lösbar ist?
Schau dir doch einfach das folgende, explizite Gegenbeispiel an:
$f : [mm] \IR \to \IR^2$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] (x, 0)$.
Zeige, dass es sich um eine injektive Immersion und um eine Einbettung handelt.
Offen ist sie sicher nicht.
LG Felix
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Tatsächlich! Vielen Dank euch beiden. Wahrscheinlich dachte sich der Aufgabensteller, dass j offen ist "als Einbettung", also mit der Teilraumtopologie als Bildraum.
Vielen Dank nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Mi 29.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Tatsächlich! Vielen Dank euch beiden. Wahrscheinlich
> dachte sich der Aufgabensteller, dass j offen ist "als
> Einbettung", also mit der Teilraumtopologie als Bildraum.
In dem Fall reicht es voellig aus, dass $j$ eine Einbettung ist. Eine Einbettung ist als Homeomorphismus $j : M [mm] \to [/mm] j(M)$ ja gerade eine offene Abbildung.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:12 Mi 29.12.2010 | | Autor: | SEcki |
> In dem Fall reicht es voellig aus, dass [mm]j[/mm] eine Einbettung
> ist. Eine Einbettung ist als Homeomorphismus [mm]j : M \to j(M)[/mm]
> ja gerade eine offene Abbildung.
Es wird aber tatsächlich interessant, wenn die Dimensionen der Mgf. gleich sind. Dann ist die Abbildung nach N schon offen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mi 29.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > In dem Fall reicht es voellig aus, dass [mm]j[/mm] eine Einbettung
> > ist. Eine Einbettung ist als Homeomorphismus [mm]j : M \to j(M)[/mm]
> > ja gerade eine offene Abbildung.
>
> Es wird aber tatsächlich interessant, wenn die Dimensionen
> der Mgf. gleich sind. Dann ist die Abbildung nach N schon
> offen.
ja, aber eben auch nur dann 
LG Felix
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