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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Di 13.05.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei (X,d) metrischer Raum und K [mm] \subseteq [/mm] X kompakt, U [mm] \subseteq [/mm] X offen mit K [mm] \subseteq [/mm] U. Zeige:
Es gibt eine offene Menge V [mm] \subseteq [/mm] X mit K [mm] \subseteq [/mm] V [mm] \subseteq \overline{V} \subseteq [/mm] U. |
Hallo.
Ich brauche mal wieder Hilfe, habe aber keinen wirklichen Ansatz, wie ich das ganze angehen soll...
Dass K [mm] \subseteq [/mm] V gilt liegt doch daran, dass K als Teilmenge einer kompakten Menge wieder kompakt und damit abgeschlossen und beschränkt ist, oder?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei (X,d) metrischer Raum und K [mm]\subseteq[/mm] X kompakt, U
> [mm]\subseteq[/mm] X offen mit K [mm]\subseteq[/mm] U. Zeige:
> Es gibt eine offene Menge V [mm]\subseteq[/mm] X mit K [mm]\subseteq[/mm] V
> [mm]\subseteq \overline{V} \subseteq[/mm] U.
> Hallo.
>
> Ich brauche mal wieder Hilfe, habe aber keinen wirklichen
> Ansatz, wie ich das ganze angehen soll...
> Dass K [mm]\subseteq[/mm] V gilt liegt doch daran
Du solst doch zeigen, dass es ein V mit dieser und anderen Eigenschaften gibt ...
> , dass K als
> Teilmenge einer kompakten Menge wieder kompakt
K ist nach Vor. kompakt !
> und damit
> abgeschlossen und beschränkt ist, oder?
Das vergessen wir besser, da bist zu zu arg in X= [mm] \IR^n.
[/mm]
Ist x [mm] \in [/mm] K , so ex., da K $ [mm] \subseteq [/mm] $ U und U offen, ein [mm] r_x>0 [/mm] mit
[mm] B_{r_x}(x) \subseteq [/mm] U.
Überlege Dir, dass [mm] r_x [/mm] auch so gewählt werden kann, dass [mm] \overline{B_{r_x}(x)} \subseteq [/mm] U ist.
Dann ist [mm] \{B_{r_x}(x): x \in K \} [/mm] eine offene Überdeckung von K.
Jetzt mach Du weiter.
FRED
>
> Danke schonmal!
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