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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Di 24.08.2004 | | Autor: | flokki |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
hi!
ich hab da ein problem mit einer eigentlich recht einfachen optimierung...es soll in eine kugel mit radius r=5 ein zylinder mit größter mantelfläche eingeschrieben werden. ich hab also als zielfunktion Mz= 2*r(zylinder)*pi*h aufgestellt. nebenbedingung ist bei mir [mm] r^2=r(zylinder)^2+h^2...und [/mm] ab hier gehts dann nicht wirklich gut weiter, weil nach dem einsetzen in die zielfunktion die wurzel probleme macht! bitte um hilfe!
mdbg
flokki
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Hallo flokki!
Hier ist die Zeichnung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Manteloberfläche ist:
[mm]M=2\pi r\sin \theta*2r\cos \theta=4\pi r^{2}\sin \theta \cos \theta[/mm]
diese Funktion musst du maximieren in [mm]\theta[/mm]
Ergebnis, zur Kontrolle: [mm]\theta = 45 Grad[/mm]
Schöne Grüße,
Ladis
[EDIT: Ich habe ein Bild gelöscht, es war nichts darauf, und es war zu gross M.REx, 23.12.2009]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: unbekannt) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Di 24.08.2004 | | Autor: | flokki |
danke für deine schnelle antwort, kann leider auf dem ersten gif nix sehen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Di 24.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo flokki
das scheint jetzt behoben zu sein
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Di 24.08.2004 | | Autor: | flokki |
jup...hat sich erledigt...vielen dank, das einzige problem ist das nullsetzen von
[mm] cos^{2} [/mm] (x) - [mm] sin^{2} [/mm] (x) , maple spuckt die richtige lösung aus, aber zu fuss rechnen is mir ned ganz klar...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Di 24.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo nochmal flokki,
Um diesen Ausdruck effizient mit 0 gleichzusetzen, benötigt man einen kleinen Trick, der da lautet:
[mm] $sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] = 1$
Damit solltest Du die Lösung schnell bekommen ^^
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Di 24.08.2004 | | Autor: | flokki |
...tut mir leid, versteh ich nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Di 24.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Ist jetzt kein Beweis, aber probier das ein paarmal im Taschenrechner aus, wenn Du für die Quadrate der Sinii und Cosini jeweils das selbe Argument einsetzt und die beiden addierst, kommt immer 1 raus...
Jedenfalls hilft Dir das wie folgt weiter, Du hast:
[mm] $cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x) [/mm] = 0$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $cos^2(x) [/mm] = [mm] sin^2(x)$ ($sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow cos^2(x) [/mm] = 1 - [mm] sin^2(x)$)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
$1 - [mm] sin^2(x) [/mm] = [mm] sin^2(x)$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
$1 = [mm] 2*sin^2(x)$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] sin^2(x)$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
$sin(x) = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
$x = [mm] arcsin(\wurzel{\bruch{1}{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4} \cong [/mm] 45°$
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Mi 25.08.2004 | | Autor: | flokki |
k, alles klar, vielen vielen dank!!!
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Hallo ihr lieben!
Man benutzt die trigonometrische Formel:
[mm]\cos^{2} x-\sin^{2} x=\cos 2x[/mm]
Oder eine andere Methode:
[mm]\cos^{2} x-\sin^{2} x=0\gdw \cos^{2} x=\sin^{2} x\gdw \bruch{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}=1\gdw tan^{2} x=1[/mm]
Liebe Grüße,
Ladis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Di 24.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo flokki,
ich möchte mich meinen Vorrednern anschließen, ich versuche aber vielleicht noch, die Herleitung der Lösung etwas klarer zu machen.
Du hattest richtig erkannt, dass für die Mantelfläche eines Zylinders gilt:
[mm] $M_z [/mm] = [mm] 2*r_z*\pi*h$
[/mm]
Dann hast Du allerdings die Nebenbedingung nicht richtig aufgestellt.
Wegen der absoluten Symmetrie des Problems genügt es vielleicht, sich ein zweidimesnionales (also normales) carthesisches Koordinatensystem herzunehmen und einen Viertelkreis im ersten Quadranten (rechts oben) zu betrachten.
Je nachdem, wie weit Du mit Deinem x-Wert nach rechts gehst, desto größer oder kleiner wird das Rechteck, welches die Grundseite mit dem Kreis einschließt.
Ähnliches gilt im dreidimensionalen Raum auch für die Zylinderoberfläche.
Du suchst also dasjenige $x [mm] \in (0,r_k)$, [/mm] für das [mm] $M_z(r_z) [/mm] = [mm] 2*r_z*\pi*h$ [/mm] maximal wird.
Jetzt muss man das Problem allerdings noch etwas umschreiben, weil im Moment noch nicht alle Variablen bekannt sind, dazu betrachten wir die Skizze von ladislauradu und erinnern uns an die trigonometrischen Funktionen.
Es gilt offenbar [mm] $cos\theta [/mm] = [mm] \bruch{r_z}{r_k} \gdw r_z [/mm] = [mm] r_k*cos\theta$ [/mm] sowie [mm] $sin\theta [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{h}{2}}{r_k} \gdw [/mm] h = [mm] 2*r_k*sin\theta$
[/mm]
Daraus ergibt sich dann eingesetzt:
[mm] $M_z(\theta) [/mm] = [mm] 2*r_k*cos\theta*\Pi*2*r_k*sin\theta [/mm] = [mm] 4*r_k^2*\pi*cos\theta*sin\theta$
[/mm]
Danach musst Du tatsächlich nurnoch mit der ersten Ableitung arbeiten, um das Maximum zu ermitteln.
Ich hoffe, das Vorgehen wurde dadurch etwas klarer...
greetz
AT-Colt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Di 24.08.2004 | | Autor: | flokki |
danke vielmals für die schnelle antwort!
mdbg
flokki
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