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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | Seien A und B aus Rn×n. Beantworten Sie folgende Fragen und begründen Sie Ihre Antwort mit einer Rechnung.
a) Seien A,B orthogonale Matrizen. Ist A + B dann ebenfalls orthogonal?
b) Sei A symmetrisch und durch [mm] x^{T}Ax [/mm] eine quadratische Form gegeben, sei weiter S orthogonal
und D = [mm] S^{T}AS [/mm] eine Diagonalmatrix. Es gelte außerdem [mm] A^{n} [/mm] = 0 für ein n [mm] \in [/mm] N. Wie sieht die
durch D gegebene rein quadratische Form aus? |
Hallo an Euch!
Ich habe Probleme zu zeigen, dass die Aussage bei a) nicht stimmt. Ich weiß zwar, dass sie unwahr ist, aber wie zeige ich das an einer allgemeinen Rechnung? Musste schon zeigen, dass das Produkt zweier orthogonaler Matrizen wieder orthogonal ist und dass [mm] A^{-1} [/mm] auch orthogonal ist wenn A othogonal ist. Das ging auch ganz gut, da die Aussagen stimmen. Wie gehe ich aber hier vor?
zu d)
Ich kann zwar rein quadratische Formen berechnen, aber so allgemein weiß ich nicht, wie ich anfangen soll die rein quadratische Form von D zu berechnen. HAt jemand eine Idee?
Viele Grüße
Klempner
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Moin,
> Seien A und B aus Rn×n. Beantworten Sie folgende Fragen
> und begründen Sie Ihre Antwort mit einer Rechnung.
>
> a) Seien A,B orthogonale Matrizen. Ist A + B dann ebenfalls
> orthogonal?
>
> b) Sei A symmetrisch und durch [mm]x^{T}Ax[/mm] eine quadratische
> Form gegeben, sei weiter S orthogonal
> und D = [mm]S^{T}AS[/mm] eine Diagonalmatrix. Es gelte außerdem
> [mm]A^{n}[/mm] = 0 für ein n [mm]\in[/mm] N. Wie sieht die
> durch D gegebene rein quadratische Form aus?
> Hallo an Euch!
>
> Ich habe Probleme zu zeigen, dass die Aussage bei a) nicht
> stimmt.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich weiß zwar, dass sie unwahr ist, aber wie zeige
> ich das an einer allgemeinen Rechnung? Musste schon zeigen,
> dass das Produkt zweier orthogonaler Matrizen wieder
> orthogonal ist und dass [mm]A^{-1}[/mm] auch orthogonal ist wenn A
> othogonal ist. Das ging auch ganz gut, da die Aussagen
> stimmen. Wie gehe ich aber hier vor?
Ein Gegenbeispiel genügt.
> zu d)
>
> Ich kann zwar rein quadratische Formen berechnen, aber so
> allgemein weiß ich nicht, wie ich anfangen soll die rein
> quadratische Form von D zu berechnen. HAt jemand eine
> Idee?
Was ist denn [mm] $A^n=(S^TDS)^n=\ldots$
[/mm]
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