orthogonale u. längentreue Abb < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein euklidischer Vektorraum und L:V [mm] \to [/mm] W ein längentreuer Homomorphismus, d.h. für alle v [mm] \in [/mm] V gilt |L(v)|=|v|. Zeigen Sie:
a) Für alle u,v [mm] \in [/mm] V gilt <L(u),L(v)>=<u,v>. In diesem Fall heißt L auch orthogonal. |
Aus der Vorlesung weiß ich, dass die in a) genannte Bedingung die Definition einer orthogonalen Abbildung ist. Soll ich mit dieser Aufgabe also zeigen, dass jede längentreue Abbildung auch orthogonal ist?
Den Beweis habe ich zwar schon gemacht,bin mir aber nun nicht sicher, ob er stimmen kann, da in der Vorlesung nur jede orthogonale Abildung als längentreu gekennzeichnet wurde und nicht andersherum.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fagottator,
ob dein Beweis stimmt, kann man dir leider schlecht sagen, wenn man ihn nicht sieht. Die Aussage, die zu zeigen ist, stimmt aber erstmal.
Poste hier doch einfach mal deinen Beweis, dann lässt sich einfacher sagen, ob er stimmt.
Irgendwo in meinem Hinterkopf findet sich noch nen Ansatz über
[mm]|u+v|^2 = |L(u+v)|^2 = |L(u) + L(v)|^2[/mm] mit
[mm]|u|^2 = [/mm]
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Mo 19.05.2008 | | Autor: | fagottator |
Also, hier mein Beweis:
|L(u+v)|² = <L(u+v),L(u+v)> = <L(u)+L(v),L(u)+L(v)> = <L(u),L(u)> + 2<L(u),L(v)> + <L(v),L(v)>
|(u+v)|² = <u+v,u+v> = <u,u> + 2<u,v> + <v,v>
Da |L(v)|=|v| nach Voraussetzung gilt, folgt:
<L(u),L(u)> + 2<L(u),L(v)> + <L(v),L(v)> = <u,u> + 2<u,v> + <v,v>
Nun setze ich die zugehörigen Einheitsvektoren [mm] u':=\bruch{u}{|u|} [/mm] und [mm] v':=\bruch{v}{|v|} [/mm] ein und erhalte:
<L(u'),L(u')> + 2<L(u'),L(v')> + <L(v'),L(v')> = <u',u'> + 2<u',v'> + <v',v'>
[mm] \gdw [/mm] |L(u')|² + 2<L(u'),L(v')> + |L(v')|² = |u'|² + 2<u',v'> + |v'|²
Da L nach Voraussetzung längentreu ist, folgt aus |u'|=1=|u'|² und |v|=1=|v'|² : |L(u')|=1=|L(u')|² und |L(v')|=1=|L(v')|²
Einsetzen liefert dann 2+2<L(u'),L(v')> = 2+2<u',v'> [mm] \gdw [/mm] <L(u'),L(v')> = <u',v'>
Damit dies auch für alle u,v [mm] \in [/mm] V gilt, setze ich wieder u,v ein und erhalte:
[mm] [/mm] = [mm] <\bruch{u}{|u|},\bruch{v}{|v|}>
[/mm]
Da L linear und <,> bilinear ist und |u|,|v| [mm] \in \IR, [/mm] folgt
[mm] \bruch{1}{|u||v|} [/mm] <L(u),L(v)> = [mm] \bruch{1}{|u||v|} \gdw [/mm] <L(u),L(v)> = <u,v>
So müsste es richtig sein. Habe ich denn damit bewiesen, dass jede längentreue Abbildung auch automatisch orthogonal ist? Soll heißen, sobald ich eine längentreue Abbildung habe ,kann ich sie auch wie eine orthogonale behandeln?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Gonozal_IX |
Dein Beweis ist ok, wobei du die Betrachtung mit den Einheitsvektoren nicht benötigst:
> Da |L(v)|=|v| nach Voraussetzung gilt, folgt:
>
> <L(u),L(u)> + 2<L(u),L(v)> + <L(v),L(v)> = <u,u> + 2<u,v> +
> <v,v>
Bis hierhin würde ich es genauso machen, dann gehts allerdings ein bisschen schneller :)
[mm]|L(u)|^2 + 2 + |L(v)|^2 = |u|^2 + 2 + |v|^2[/mm]
[mm] 2 = 2[/mm] (da ja aufgrund der längentreure [mm]|L(u)|^2 = |u|^2[/mm]).
Fertig 
> So müsste es richtig sein. Habe ich denn damit bewiesen,
> dass jede längentreue Abbildung auch automatisch orthogonal
> ist? Soll heißen, sobald ich eine längentreue Abbildung
> habe ,kann ich sie auch wie eine orthogonale behandeln?
Genau das hast du eben bewiesen. Jede längentreue Abbildung ist orthogonal und umgekehrt.
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mo 19.05.2008 | | Autor: | fagottator |
Vielen, vielen Dank für die schnelle und gute Hilfe!! Werd mich jetzt bestimmt öfters mit Fragen hier melden.
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> Sei V ein euklidischer Vektorraum und L:V [mm]\to[/mm] W ein
> längentreuer Homomorphismus, d.h. für alle v [mm]\in[/mm] V gilt
> |L(v)|=|v|. Zeigen Sie:
> a) Für alle u,v [mm]\in[/mm] V gilt <L(u),L(v)>=<u,v>. In diesem
> Fall heißt L auch orthogonal.
> Aus der Vorlesung weiß ich, dass die in a) genannte
> Bedingung die Definition einer orthogonalen Abbildung ist.
> Soll ich mit dieser Aufgabe also zeigen, dass jede
> längentreue Abbildung auch orthogonal ist?
> Den Beweis habe ich zwar schon gemacht,bin mir aber nun
> nicht sicher, ob er stimmen kann, da in der Vorlesung nur
> jede orthogonale Abildung als längentreu gekennzeichnet
> wurde und nicht andersherum.
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich möchte die Antwort von Gonozal_IX noch ein wenig ausarbeiten. Zunächst nehme ich an, dass es sich um einen reellen Vektorraum handelt (etwas analoges ist bei komplexen Vektorräumen möglich). Dann gilt folgendes: Sind [mm] $F,G\: V\times V\rightarrow\IR$ [/mm] symmetrische bilineare Funktionen und gilt für alle Vektoren [mm] $u\in [/mm] V$, dass $F(u,u)=G(u,u)$, so folgt $F=G$.
Grund: es ist [mm] $F(u,v)=\frac{1}{2}\left[F(u+v,u+v)-F(u,u)-F(v,v)\right]$ [/mm] bzw. [mm] $G(u,v)=\frac{1}{2}\left[G(u+v,u+v)-G(u,u)-G(v,v)\right]$ [/mm] ("verallgemeinerter Cosinussatz").
Auf Dein Problem angewand: sei [mm] $F:\; (u,v)\mapsto [/mm] <L(u),L(v)>$ und [mm] $G:\; (u,v)\mapsto [/mm] <u,v>$ so folgt aus der Voraussetzung $|L(v)|=|v|$, bzw. äquivalent $<L(v),L(v)>=<v,v>$, dass $F=G$ ist und daher $L$ insbesondere das Skalarprodukt erhält, d.h. gemäss Definition orthogonal ist.
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Hallo,
könnt ihr mir helfen, die Umkehrung obiger Aufgabe zu zeigen? Also ich habe gegeben, dass <v, w> = 0 <=> <f(v), f(w)> = 0 gilt.
Ich möchte zeigen, dass f orthogonal ist. Ich muss ja nun allgemein zeigen, dass <x, y> = <f(x), f(y)> gilt. Aber ich finde einfach keinen Ansatz.
Liebe Grüße, bumblebee
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Hm,
hast du nun die Umkehrung zu zeigen, also das gilt:
f längentreu [mm] \Longrightarrow [/mm] f orthogonal
oder sollst du zeigen, was du geschrieben hast
[mm]( = 0 \gdw = 0) \Longrightarrow[/mm] f orthogonal?
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Di 27.05.2008 | | Autor: | bumblebee |
Hm, tatsächlich möchte ich das letztere zeigen, was ich geschreiben hatte. Ich dachte, dass könne ich irgendwie über die Längentreue machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Di 27.05.2008 | | Autor: | Gonozal_IX |
Den Satz, den du zeigen willst, kann m.E. gar nicht gelten, ein einfaches Gegenbeispiel reicht da.
Betrachte f(x) = 5x, dann gilt:
[mm] = 0 \gdw <5x,5y> = 25 = 0[/mm] ABER [mm]|x| \not= |5x| = 5|x|[/mm]
Damit ist f nicht längentreu und damit nicht orthogonal.
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Mi 28.05.2008 | | Autor: | bumblebee |
Hm, du hast recht. Ich hatte das wohl nicht ganz verstanden. Danke.
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