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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine orthonormale Basis von [mm] U^{\perp} [/mm] |
Also ich habe nur eine Frage und zwar was bedeutet [mm] U^{\perp}??
[/mm]
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> Bestimmen Sie eine orthonormale Basis von [mm]U^{\perp}[/mm]
> Also ich habe nur eine Frage und zwar was bedeutet
> [mm]U^{\perp}??[/mm]
Hallo,
wenn U eine UVR von V ist, dann ist [mm] U^{\perp} [/mm] der Orthogonalraum von U in V.
Er enthält die Vektoren aus V, welche zu jedem Vektor aus U orthogonal sind.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Okay.
Also die ganze Aufgabe lautet:
Sei U:= [mm] span(\vektor{1\\1\\-1\\1} \vektor{2\\1\\-1\\0}) [/mm] Bestimmen Sie eine orthonormale Basis von [mm] U^{\perp}
[/mm]
Jetzt dachte ich, ich muss "einfach" das Gramschmidt Verfahren anwenden???
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> Okay.
>
> Also die ganze Aufgabe lautet:
> Sei U:= [mm]span(\vektor{1\\
1\\
-1\\
1} \vektor{2\\
1\\
-1\\
0})[/mm]
> Bestimmen Sie eine orthonormale Basis von [mm]U^{\perp}[/mm]
>
> Jetzt dachte ich, ich muss "einfach" das Gramschmidt
> Verfahren anwenden???
Hallo,
das war kein guter Gedanke.
Es interessiert sich ja niemand für eine ONB von U.
Du sollst alle [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_4}\in \IR^4 [/mm] suchen, die auf jedem Vektor von U senkrecht stehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Und wie mach ich das??? Nehme beliebigen Vektor und schaue wann das Skalarprodukt null wird???
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> Und wie mach ich das??? Nehme beliebigen Vektor und schaue
> wann das Skalarprodukt null wird???
Hallo,
frag' doch nicht im Minutentakt nach.
Versuch doch mal ein bißchen, ob Du so zum Ziel kommst.
Was bekommst Du denn, wenn Du tust, was Du oben vorschlägst?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Wollte nur Fragen ob das kein Blödsinn ist, was ich mir da gedacht habe!!
Ich habe jetzt folgendes gemacht:
[mm] \vektor{x1\\x2\\x3\\x4}*\vektor{1\\1\\-1\\1}= [/mm] x1+x2+x3+x4=0
[mm] \vektor{x1\\x2\\x3\\x4}*\vektor{2\\1\\-1\\0}=2x1+x2-x3=0
[/mm]
Da bekomme ich dann für [mm] x:=\vektor{-4x3-2x4\\3x3+x4\\x3\\x4}
[/mm]
raus.
Ist das dann meine orthonormale Basis??
Denn dieser Vektor steht ja dann auf den linear unabhängigen Vektoren des U senkrecht.
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Hallo sissenge,
> Wollte nur Fragen ob das kein Blödsinn ist, was ich mir da
> gedacht habe!!
>
> Ich habe jetzt folgendes gemacht:
>
> [mm]\vektor{x1\\x2\\x3\\x4}*\vektor{1\\1\\-1\\1}=[/mm]
> x1+x2+x3+x4=0
>
> [mm]\vektor{x1\\x2\\x3\\x4}*\vektor{2\\1\\-1\\0}=2x1+x2-x3=0[/mm]
>
> Da bekomme ich dann für
> [mm]x:=\vektor{-4x3-2x4\\3x3+x4\\x3\\x4}[/mm]
> raus.
>
> Ist das dann meine orthonormale Basis??
Nein, gesucht sind zunächst zwei Vektoren von [mm]U_{\perp}[/mm].
Schreibe also x in der Forrm
[mm]x=x_{3}*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...} +x_{4}*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}[/mm]
Die Vektoen in den Klammern, sind dann die Vektoren des [mm]U_{\perp}[/mm].
>
> Denn dieser Vektor steht ja dann auf den linear
> unabhängigen Vektoren des U senkrecht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Ahh ok... stimmt das habe ich schonmal bei einer anderen Aufgabe machen müssen...
und das sind dann meine orthonormalen Basen???
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Hallo sissenge,
> Ahh ok... stimmt das habe ich schonmal bei einer anderen
> Aufgabe machen müssen...
>
> und das sind dann meine orthonormalen Basen???
Die zwei Vektoren müssen nicht zwangsweise orthonormal sein.
Sind die Vektoren nicht orthonormal,
dann musst Du die erst mal orthonormalisieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Aber sie müssen doch senkrecht auf U sein, da das Skalarprodukt null ist??
Woher weiß ich denn ob sie orthonormal sind??
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Hallo sissenge,
> Aber sie müssen doch senkrecht auf U sein, da das
> Skalarprodukt null ist??
Die Vektoren in [mm]U_{\perp}[/mm] sind orthogonal zu den Vektoren in U.
Nur sind die Vektoren in [mm]U_{\perp}[/mm] nicht orthogonal zueinander.
>
> Woher weiß ich denn ob sie orthonormal sind??
Probiers aus.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Ich verstehe noch nicht so ganz, was jetzt das Problem ist. Also ich zwei Vektoren eines Raums gegeben. Dann habe ich durch Nullsetzten des Skalarprodukts zwei Vektoren herausgefunden, welche auf den gegeben senkrecht stehen....
Allerdings soll ich ja eine orthonormal Basis zu [mm] U^{\perp} [/mm] finden...das verwirrt mich noch...
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Hallo sissenge,
> Ich verstehe noch nicht so ganz, was jetzt das Problem ist.
> Also ich zwei Vektoren eines Raums gegeben. Dann habe ich
> durch Nullsetzten des Skalarprodukts zwei Vektoren
> herausgefunden, welche auf den gegeben senkrecht
> stehen....
Nun, diese zwei Vektoren bilden eine Basis des [mm]U^{\perp}[/mm] .
>
> Allerdings soll ich ja eine orthonormal Basis zu [mm]U^{\perp}[/mm]
> finden...das verwirrt mich noch...
Und diese gefundene Basis des [mm]U^{\perp}[/mm] soll jetzt orthonormiert werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 09.12.2010 | | Autor: | sissenge |
also Gram-Schmidt????
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> also Gram-Schmidt????
Hallo,
kannst Du machen.
Ob damit, oder irgendwie anders, ist ja egal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Do 09.12.2010 | | Autor: | sissenge |
also ich mache ja dann zum normalisieren des ersten vektors einfach
v1/lv1l
muss ich dann den zweiten Vektor noch orthogonalisieren??? um diesen dann zu normalisieren
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Hallo sissenge,
> also ich mache ja dann zum normalisieren des ersten vektors
> einfach
>
> v1/lv1l
Ja.
>
> muss ich dann den zweiten Vektor noch orthogonalisieren???
> um diesen dann zu normalisieren
Ja, den zweiten Vektor mußt Du noch orthogonalisieren.
Gruss
MathePower
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