p-Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Mo 13.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Ist [mm] |G|=p^r [/mm], p Primzahl, [mm] r\ge [/mm] 1, so unterscheidet sich die Anzahl der Untergruppen in G von der Anzahl der Normalteiler um ein Vielfaches von p. |
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
[Wo und wie fängt man hier zu beweisen an?]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Mo 13.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Meine Idee:
Man betrachtet als Gruppen-Operation die Konjugation von G auf sich selbst . Dann wendet man die Bahnengleichung an und da die Fixpunktmenge bei dieser Operation gerade das Zentrum von G ist (also ein Normalteiler), kann man hierüber schon sagen (durch Umstellen der Lagrangeformel) - da die Ordnung des Zentrums Teiler der Gruppenordnung ist - dass die Anzahl der Normalteiler z.B. [mm] p^{r-a} [/mm] ist. Und weil der Stabilisator (hier: Zentralisator) Untergruppe von G ist, ist die Ordnung des Stabilisators ebenfalls ein Teiler der Gruppenordnung und somit die Anzahl der Untergruppen (wieder durch Umstellen der Formel von Lagrange) z.B. [mm] p^{r-b}.
[/mm]
Und damit unterscheiden sich die Anzahl der Normalteiler und der Untergruppen um ein Vielfaches von p, was man ja zeigen soll.
[Was mich ein bisschen verwirrt ist, dass die Normalteiler ja auch Untergruppen sind und ich nicht genau weiß, wie man das trennen muss. Sicherlich kann man ja aber sagen, dass die Anzahl der Untergruppen [mm] \ge [/mm] der Anzahl der Normalteiler ist.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Mo 13.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Irgendwas muss ich wohl verbrochen haben, weil ich gar keine Antworten mehr auf meine Fragen bekomme. Schade, mir hats immer weiter geholfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 13.12.2010 | | Autor: | PeterB |
Deine erste Mitteilung verstehe ich nicht, die Folgerung, dass die Zahl der Normalteiler eine p-Potenz ist jedenfalls falsch.
Ich hatte deine Frage erst falsch verstanden: Es ist nicht so ganz klar was bedeutet "sich unterscheiden um etwas das durch p teilbar ist". Nachdem mir eben klar wurde das unterscheiden hier Differenz bedeutet, ist die Aufgabe nicht so hart:
In der Tat betrachtest du die Operation der Gruppe durch Konjugation. Allerdings nicht auf sich selbst sonder auf der Menge der Untergruppen. Danach solltest Du dich fragen: Was kannst Du über die Länge der Bahnen sagen? Welchen Untergruppen entsprechen die Bahnen der Länge 1?
Und Damit bist Du dann fertig.
Ich hoffe das reicht als Tipp. Falls nicht schaue ich heute Abend noch mal rein.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mo 13.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Danke für diesen ersten Tipp, ich versuche mich nun daran und berichte dann.
PS: Hätte ich den Aufgabenaufbau richtig gelesen, wäre ich vielleicht auch darauf gekommen, dass ich die Gruppenoperation auf die Menge der Untergruppen betrachten muss, denn das steht auf meinem Zettel als erste Voraussetzung...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mo 13.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Die Länge der Bahnen...
Gibt es da nicht die Formel:
[mm] |Gx|=\bruch{|G|}{|Stab(G)|} [/mm] ?
[mm] |G|=p^r, [/mm] aber was ist die Ordnung des Stabilisators?
Auf jeden Fall ein Teiler von [mm] p^r, [/mm] da der Stabilisator eine Untergruppe ist (Lagrange).
Für den Stabilisator muss ja gelten: gx=x, [mm] g\in G,x\in [/mm] X.
[Gilt das nicht nur fürs neutrale Element und hat damit der Stabilisator die Ordnung 1? Das würde heißen, dass die Bahnen die Lange [mm] p^r [/mm] haben.
Kommt mir schon falsch vor.
Naja, ich mach trotzdem mal weiter.
Bahnen der Ordnung 1...
entsprechen die den Normalteilern?
Das hieße mit Lagrange, dass es [mm] p^r [/mm] Normalteiler gibt.
Für alle anderen Untergruppen würde das heißen, dass deren Ordnung größer als 1 sein muss (sonst wären sie ja auch Normalteiler) und damit ist deren Anzahl natürlich kleiner als [mm] p^r [/mm] (wieder nach Lagrange), also eine kleine Potenz als r.
Und damit ist die Anzahl um ein Vielfaches von p kleiner als die der Normalteiler.
[Ohje, kommt mir reichlich wirr vor.]
Bitte helfen! 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 13.12.2010 | | Autor: | PeterB |
> Die Länge der Bahnen...
> Gibt es da nicht die Formel:
>
> [mm]|Gx|=\bruch{|G|}{|Stab(G)|}[/mm] ?
Ja.
>
> [mm]|G|=p^r,[/mm] aber was ist die Ordnung des Stabilisators?
> Auf jeden Fall ein Teiler von [mm]p^r,[/mm] da der Stabilisator
> eine Untergruppe ist (Lagrange).
Genau, und die Teiler von [mm] $p^r$ [/mm] sind [mm] $1,p,p^2,...,p^r$
[/mm]
D.h. auch für die Länge der Bahnen kommen nur [mm] $p^r,p^{r-1},...,1$ [/mm] in Frage. Die meisten dieser Zahlen sind durch p teilber
>
> Für den Stabilisator muss ja gelten: gx=x, [mm]g\in G,x\in[/mm] X.
Für die elemente g des Stbilisators gilt das.
> [Gilt das nicht nur fürs neutrale Element und hat damit
> der Stabilisator die Ordnung 1? Das würde heißen, dass
> die Bahnen die Lange [mm]p^r[/mm] haben.
Nein! Diese Aussage gilt nur falls x auch ein Element von G ist und wir die Operation "multiplikation von links" betrachten, wir sind aber in einem vollkommen anderen Fall!
>
> Kommt mir schon falsch vor.
> Naja, ich mach trotzdem mal weiter.
>
>
> Bahnen der Ordnung 1...
> entsprechen die den Normalteilern?
Ja, warum?
>
> Das hieße mit Lagrange, dass es [mm]p^r[/mm] Normalteiler gibt.
Nein warum sollte das folgen?
>
> Für alle anderen Untergruppen würde das heißen, dass
> deren Ordnung
wenn Ordnung = "länge des Orbits dann Ja!"
>größer als 1 sein muss (sonst wären sie ja
> auch Normalteiler) und damit ist deren Anzahl natürlich
> kleiner als [mm]p^r[/mm] (wieder nach Lagrange), also eine kleine
> Potenz als r.
>
> Und damit ist die Anzahl um ein Vielfaches von p kleiner
> als die der Normalteiler.
>
>
> [Ohje, kommt mir reichlich wirr vor.]
>
> Bitte helfen!
>
Du solltest wirklich ein bischen mit den Begriffen arbeiten: Die nicht normalen untergruppen bilden zusammen gerade die Orbiten deren Länge nicht 1 und daher nach der obigen Überlegung durch p teilbar ist.
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mo 13.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Vielen Dank für die Korrekturen!
Die Normalteiler sind also die Bahnen der Länge 1, die nicht normalen Untergruppen sind die, deren Länge durch p teilbar ist.
Wie kann man jetzt mit diesem Ergebnis schließen, dass sich die Anzahl der Normalteiler (d.h. der Bahnen der Länge 1) von der Anzahl der Untergruppen (d.h. der Bahnen, deren Länge durch p Teilbar und somit nicht 1 ist) um ein Vielfaches von p unterscheidet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mo 13.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
[Das Folgende habe ich nachträglich durchgestrichen, weil es einfach Blödsinn war.]
Muss man sich überlegen, welche "Kombinationen" möglich sind?
Die Gruppe ist ja disjunkte Vereinigung der Bahnen.
Mal ein Beispiel:
Wenn ich z.B. eine Gruppe betrachte, deren Ordnung 3 ist (also p=3, r=1). Die Normalteiler sind die Bahnen der Länge 1, die nicht normalen Untergruppen die, deren Länge nicht 1 und somit durch 3 teilbar ist.
Ich kann nun z.B. 3 1er-Bahnen nehmen, dann gibt es 0 nicht normale Untergruppen und somit unterscheidet sich die Anzahl der Normalteiler von der der Untergruppen um 1*3.
Ist das irgendwie so gemeint?
Wenn nicht, wie kommt man dann auf die Anzahl??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Di 14.12.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Die Normalteiler sind also die Bahnen der Länge 1, die
> nicht normalen Untergruppen sind die, deren Länge durch p
> teilbar ist.
>
> Wie kann man jetzt mit diesem Ergebnis schließen, dass
> sich die Anzahl der Normalteiler (d.h. der Bahnen der
> Länge 1) von der Anzahl der Untergruppen (d.h. der Bahnen,
> deren Länge durch p Teilbar und somit nicht 1 ist) um ein
> Vielfaches von p unterscheidet?
Jede Untergruppe liegt ja in genau einer dieser Bahnen. Und die Differenz zwischen der Anzahl aller Untergr. und derjenigen der NT ist die Anzahl der Untergruppen, die in nichttrivialen Bahnen liegen. Aber diese Anzahl ist jeweils durch p teilbar, also auch ihre Summe.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Di 14.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich denke, dass der Groschen nun gefallen ist.
Ich bedanke mich bei PeterB und statler für die Hilfe.
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