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p-adisch kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:32 Sa 16/09/2017
Author: Limens

Aufgabe
Die p-adischen ganzen Zahlen (als direkter Limes der [mm] $\mathbb{Z}$/$p^n$$\mathbb{Z}$ [/mm] mit der diskreten Topologie) mit der Produkttopologie sind kompakt.

Hallo zusammen,

ich habe folgende Aussage vor kurzem gelesen mit dem Zusatz, dass man das ziemlich einfach sieht.
Könnte mir das bitte jemand verständlich erklären bzw. beweisen, sodass man es auch als Nicht-Algebraiker versteht?

Vielen Dank im Voraus. :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
p-adisch kompakt: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:56 Sa 16/09/2017
Author: UniversellesObjekt

Endliche diskrete Räume sind kompakt und Hausdorff. Der Satz von Tychonoff impliziert, dass das Produkt [mm] $\prod_k\IZ/p^{k+1}$ [/mm] wiederum kompakt ist. Außerdem überlegt man sich leicht, dass das Produkt von Hausdorffräumen wieder Hausdorffsch ist. (Warum?)

Ein abgeschlossener Teilraum eines kompakten Hausdorffraumes ist kompakt. (Warum?)

Der projektive Limes ist ein abgeschlossener Teilraum des Produktes. (Warum?)

Verallgemeinert wird das alles durch den Begriff proendlicher Räume, kannst du dir 'mal durchlesen, wenn es dich interessiert.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
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