p-adische Körper < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 06.11.2014 | | Autor: | evinda |
Hallo :)
Ich will prüfen, ob die Gleichung [mm] 3x^2+5y^2-7z^2=0 [/mm] nicht-triviale Lösungen hat und falls es keine gibt, soll ich die p-adischen Körper, finden, in dene die Gleichung keine Lösung hat.
Ich habe den folgenden Satz benutzt:
"a,b,c [mm] \in \mathbb{Z}, [/mm] (a,b)=(b,c)=(a,c)=1.
abc ist quadratfrei. Dann hat die Gleichung [mm] ax^2+by^2+cz^2=0 [/mm] eine nicht-triviale Lösung in [mm] \mathbb{Q} \Leftrightarrow
[/mm]
1. a,b,c sind nicht alle positiv und nicht alle negativ
2. [mm] \forall [/mm] p [mm] \in \mathbb{P} \setminus \{ 2 \}, [/mm] p [mm] \mid [/mm] a, [mm] \exists [/mm] r [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] sodass b+r^2c [mm] \equiv [/mm] 0 mod p und eine ähnliche Kongruenz für p [mm] \in \mathbb{P} \setminus \{2\}, [/mm] für dene es gilt p [mm] \mid [/mm] b or p [mm] \mid [/mm] c.
3. Wenn a,b,c alle ungerade sind, dann gibt es zwei von a,b,c, sodass deren Summe durch 4 teilbar ist.
4. Wenn a gerade ist, dann ist b+c oder a+b+c durch 8 teilbar.
Ähnlich, wenn b oder c gerade ist. "
und da die 2te Bedingung vom Satz,nicht erfüllt wird, hat die Gleichung keine Lösung in [mm] \mathbb{Q}.
[/mm]
Wie kann ich aber die p-adischen Körper finden, in dene die Gleichung keine Lösung hat?
Ich habe die Frage auch im Forum Matheplanet gestellt.
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Hi,
Hilbert-Symbol hattet ihr noch nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 06.11.2014 | | Autor: | evinda |
Nein, das haben wir nicht gelernt.
Wie kann ich sonst die p-adischen Körper finden, in dene die Gleichung keine Lösung hat?
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Dann wird's frimmelig.
Ich seh mit bloßem Auge zwei Primzahlen bei denen es keine Lösung gibt.(Welche?)
Um das ganze systematisch zu betrachten:
Versuche die Gleichung mod p zu lösen,
falls das geht überprüfe ob man die Lösung liften kann.
P.S. Das was du in deinem ersten Matheplanetpost schreibst kannst du nicht machen. Die Gleichung erfüllt nicht Voraussetzung des Satzes: Die Koeffizienten sind nicht paarweise teilerfremd.
P.P.S. Ein Gebot der Höflichkeit wäre es auch dem Matheplanten mitzuteilen, dass es diesen Thread hier gibt, sonst macht sich dort noch jemand unnötig Mühe.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:15 Do 06.11.2014 | | Autor: | evinda |
> Dann wird's frimmelig.
>
> Ich seh mit bloßem Auge zwei Primzahlen bei denen es keine
> Lösung gibt.(Welche?)
Wie bist du zu diesem Ergebnis gekommen?
> Um das ganze systematisch zu betrachten:
> Versuche die Gleichung mod p zu lösen,
> falls das geht überprüfe ob man die Lösung liften
> kann.
Wie könnte ich die Gleichung mod p lösen?
> P.S. Das was du in deinem ersten Mathepost schreibst kannst
> du nicht machen. Die Gleichung erfüllt nicht Voraussetzung
> des Satzes: Die Koeffizienten sind nicht paarweise
> teilerfremd.
Könnte ich einen anderen Satz anwenden, um zu prüfen, ob es nicht-triviale Lösungen gibt?
> P.P.S. Ein Gebot der Höflichkeit wäre es auch dem
> Matheplanten mitzuteilen, dass es diesen Thread hier gibt,
> sonst macht sich dort noch jemand unnötig Mühe.
Habe ich gemacht :)
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Sorry Schnellraterunden mach ich nicht mit.
Bitte mach dir einige eigene Gedanken zu dem Thema, darauf zielen meine Antworten ab: Dir eine mögliche Richtung zu zeigen. Gehen musst du schon selber.
Du hast nichts davon, wenn ich dir die Arbeit abnehme.
(Und wieso muss ich sowas einem so fortgeschrittenen Studenten eigentlich noch sagen?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 08.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Do 06.11.2014 | | Autor: | evinda |
> Um das ganze systematisch zu betrachten:
> Versuche die Gleichung mod p zu lösen,
> falls das geht überprüfe ob man die Lösung liften
> kann.
Die Gleichung hat eine Lösung modulo 2, denn es ist folgenderweise:
[mm] 3x^2+5y^2-7z^2 \equiv x^2+y^2+z^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod2, [/mm] und das gilt, wenn, zum Beispiel, x,y [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod2 [/mm] und [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod2.
[/mm]
Modulo 3 ist es folgenderweise:
[mm] 2y^2+2 z^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod3 \Rightarrow -y^2-z^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod3 \Rightarrow y^2+z^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod3, [/mm] also gibt es keine nicht-triviale Lösung modulo 3.
Modulo 7:
[mm] 3x^2+5y^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod7 \Rightarrow 3x^2-2y^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod7 \Rightarrow 3x^2 \equiv 2y^2 \pmod7, [/mm] das auch nicht sein kann, da [mm] z^2 \equiv [/mm] 0,1,4,2 [mm] \pmod7.
[/mm]
Wie kann ich aber finden ob die Gleichung eine Lösung modulo p hat, wenn p [mm] \neq [/mm] 2,3,5,7 ?
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> > Um das ganze systematisch zu betrachten:
> > Versuche die Gleichung mod p zu lösen,
> > falls das geht überprüfe ob man die Lösung liften
> > kann.
>
> Die Gleichung hat eine Lösung modulo 2, denn es ist
> folgenderweise:
>
> [mm]3x^2+5y^2-7z^2 \equiv x^2+y^2+z^2 \equiv[/mm] 0 [mm]\pmod2,[/mm] und das
> gilt, wenn, zum Beispiel, x,y [mm]\equiv[/mm] 1 [mm]\pmod2[/mm] und [mm]\equiv[/mm] 0
> [mm]\pmod2.[/mm]
>
> Modulo 3 ist es folgenderweise:
>
> [mm]2y^2+2 z^2 \equiv[/mm] 0 [mm]\pmod3 \Rightarrow -y^2-z^2 \equiv[/mm] 0
> [mm]\pmod3 \Rightarrow y^2+z^2 \equiv[/mm] 0 [mm]\pmod3,[/mm] also gibt es
> keine nicht-triviale Lösung modulo 3.
Ja und ist das schlimm?
> Modulo 7:
>
> [mm]3x^2+5y^2 \equiv[/mm] 0 [mm]\pmod7 \Rightarrow 3x^2-2y^2 \equiv[/mm] 0
> [mm]\pmod7 \Rightarrow 3x^2 \equiv 2y^2 \pmod7,[/mm] das auch nicht
> sein kann, da [mm]z^2 \equiv[/mm] 0,1,4,2 [mm]\pmod7.[/mm]
>
> Wie kann ich aber finden ob die Gleichung eine Lösung
> modulo p hat, wenn p [mm]\neq[/mm] 2,3,5,7 ?
Für die restlichen Primzahlen gibt es Lösungen, z.B. dank der Aussage:
[mm] $aX^2+bY^2=Z^2$ [/mm] hat ein Lösungen in [mm] $\mathbb Z_p$ [/mm] für $a,b [mm] \in \mathbb Z_p^*$.
[/mm]
(Die kann z.B. so beweisen: Gleichung hat eine Lösung mit (x',1,z) in [mm] $\mathbb F_p$ [/mm] und die lässt sich mittels [mm] $f:=aX^2+b-z$ [/mm] liften. )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Do 06.11.2014 | | Autor: | evinda |
> > Wie kann ich aber finden ob die Gleichung eine Lösung
> > modulo p hat, wenn p [mm]\neq[/mm] 2,3,5,7 ?
>
> Für die restlichen Primzahlen gibt es Lösungen, z.B. dank
> der Aussage:
> [mm]aX^2+bY^2=Z^2[/mm] hat ein Lösungen in [mm]\mathbb Z_p[/mm] für [mm]a,b \in \mathbb Z_p^*[/mm].
>
> (Die kann z.B. so beweisen: Gleichung hat eine Lösung mit
> (x',1,z) in [mm]\mathbb F_p[/mm] und die lässt sich mittels
> [mm]f:=aX^2+b-z[/mm] liften. )
>
Also, man hat die Gleichung [mm] \frac{3}{7}x^2+\frac{5}{7}y^2=z^2.
[/mm]
Man weiß, dass [mm] \frac{3}{5}, \frac{5}{7} \in \mathbb{Z}_p^{\star}, [/mm] da [mm] \left | \frac{3}{7}\right |_p=1, [/mm] und [mm] \left | \frac{5}{7}\right |_p=1.
[/mm]
Jetzt wollen wir das henselsche Lemma anwenden.
Also, wir wollen ein [mm] \alpha_1 \in \mathbb{Z} [/mm] finden, sodass:
[mm] F(\alpha_1) \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] p [mm] \mathbb{Z}_p
[/mm]
und
[mm] F'(\alpha_1) \equiv [/mm] 0 [mm] \mod p\mathbb{Z}_p
[/mm]
Dann, [mm] \exists \alpha \in \mathbb{Z}_p, [/mm] sodass [mm] F(\alpha)=0
[/mm]
Wie kann ich aber, in unserem Fall, so ein [mm] \alpha_1 [/mm] finden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:28 Fr 07.11.2014 | | Autor: | evinda |
Oder habe ich es falsch verstanden?
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> > > Wie kann ich aber finden ob die Gleichung eine Lösung
> > > modulo p hat, wenn p [mm]\neq[/mm] 2,3,5,7 ?
> >
> > Für die restlichen Primzahlen gibt es Lösungen, z.B. dank
> > der Aussage:
> > [mm]aX^2+bY^2=Z^2[/mm] hat ein Lösungen in [mm]\mathbb Z_p[/mm] für [mm]a,b \in \mathbb Z_p^*[/mm].
>
> >
> > (Die kann z.B. so beweisen: Gleichung hat eine Lösung mit
> > (x',1,z) in [mm]\mathbb F_p[/mm] und die lässt sich mittels
> > [mm]f:=aX^2+b-z[/mm] liften. )
> >
>
> Also, man hat die Gleichung
> [mm]\frac{3}{7}x^2+\frac{5}{7}y^2=z^2.[/mm]
>
> Man weiß, dass [mm]\frac{3}{5}, \frac{5}{7} \in \mathbb{Z}_p^{\star},[/mm]
> da [mm]\left | \frac{3}{7}\right |_p=1,[/mm] und [mm]\left | \frac{5}{7}\right |_p=1.[/mm]
>
> Jetzt wollen wir das henselsche Lemma anwenden.
>
> Also, wir wollen ein [mm]\alpha_1 \in \mathbb{Z}[/mm] finden,
> sodass:
Eigentlich wollen wir ein [mm] $\alpha_1 \in \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb [/mm] Z$ finden. Und die Endlichkeit des Körpers lässt sich hier ausnutzen um die Existenz eines solchen Elements zu zeigen.
> [mm]F(\alpha_1) \equiv[/mm] 0 [mm]\mod[/mm] p [mm]\mathbb{Z}_p[/mm]
>
> und
>
> [mm]F'(\alpha_1) \equiv[/mm] 0 [mm]\mod p\mathbb{Z}_p[/mm]
>
> Dann, [mm]\exists \alpha \in \mathbb{Z}_p,[/mm] sodass [mm]F(\alpha)=0[/mm]
>
> Wie kann ich aber, in unserem Fall, so ein [mm]\alpha_1[/mm] finden?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:54 Sa 08.11.2014 | | Autor: | evinda |
> Eigentlich wollen wir ein [mm]\alpha_1 \in \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z[/mm]
> finden. Und die Endlichkeit des Körpers lässt sich hier
> ausnutzen um die Existenz eines solchen Elements zu zeigen.
Ich habe nicht verstanden, wie ich ein [mm]\alpha_1 \in \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z[/mm] finden könnte, indem ich die Tatsache benutze, dass der Körper endlich ist. Könntest du mir genauer erklären, wie ich das machen könnte? :/
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> > Eigentlich wollen wir ein [mm]\alpha_1 \in \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z[/mm]
> > finden. Und die Endlichkeit des Körpers lässt sich hier
> > ausnutzen um die Existenz eines solchen Elements zu zeigen.
>
>
> Ich habe nicht verstanden, wie ich ein [mm]\alpha_1 \in \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z[/mm]
> finden könnte, indem ich die Tatsache benutze, dass der
> Körper endlich ist. Könntest du mir genauer erklären,
> wie ich das machen könnte? :/
Das könnte daran liegen, dass ich es nicht erklärt habe.
Mit Absicht - irgendwas solltest du beim Beweis ja auch noch selber machen.
Ich habe keinerlei Intention dir diese Aufgabe vorzukauen.
Und ich verstehe nicht wieso ich das jemandem der sich mit so fortgeschrittenem Themen beschäftigt eigentlich noch sagen muss:
Du lernst nichts dabei wenn es dir jemand vorkaut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 11.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich bin gerade auf deinen math.stackexchange account gestoßen.
Du hast die Antwort auf diese Frage bereits gehabt als du sie gestellt hast:
http://math.stackexchange.com/questions/1004639/why-doesnt-the-equation-have-a-solution-in-mathbbq-2/1004670#1004670
Was erwartest du denn?
Verstehst du Sachen erst ab der zweiten/dritten/vierten.. Person die dir was sagt?
Also sag auch ich es nochmal in der Hoffnung die kritische Anzahl zu überschreiten:
Dir fehlen offenbar massiv Grundkentnisse.
Ohne die bist du aufgeschmissen.
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> Hallo :)
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> Ich will prüfen, ob die Gleichung [mm]3x^2+5y^2-7z^2=0[/mm]
> nicht-triviale Lösungen hat und falls es keine gibt, soll
> ich die p-adischen Körper, finden, in dene die Gleichung
> keine Lösung hat.
>
> Ich habe den folgenden Satz benutzt:
>
> "a,b,c [mm]\in \mathbb{Z},[/mm] (a,b)=(b,c)=(a,c)=1.
>
> abc ist quadratfrei. Dann hat die Gleichung
> [mm]ax^2+by^2+cz^2=0[/mm] eine nicht-triviale Lösung in [mm]\mathbb{Q} \Leftrightarrow[/mm]
>
>
> 1. a,b,c sind nicht alle positiv und nicht alle negativ
> 2. [mm]\forall[/mm] p [mm]\in \mathbb{P} \setminus \{ 2 \},[/mm] p [mm]\mid[/mm] a,
> [mm]\exists[/mm] r [mm]\in \mathbb{Z}[/mm] sodass b+r^2c [mm]\equiv[/mm] 0 mod p und
> eine ähnliche Kongruenz für p [mm]\in \mathbb{P} \setminus \{2\},[/mm]
> für dene es gilt p [mm]\mid[/mm] b or p [mm]\mid[/mm] c.
> 3. Wenn a,b,c alle ungerade sind, dann gibt es zwei von
> a,b,c, sodass deren Summe durch 4 teilbar ist.
> 4. Wenn a gerade ist, dann ist b+c oder a+b+c durch 8
> teilbar.
> Ähnlich, wenn b oder c gerade ist. "
>
> und da die 2te Bedingung vom Satz,nicht erfüllt wird, hat
> die Gleichung keine Lösung in [mm]\mathbb{Q}.[/mm]
>
> Wie kann ich aber die p-adischen Körper finden, in dene
> die Gleichung keine Lösung hat?
>
>
>
>
>
>
> Ich habe die Frage auch im Forum Matheplanet gestellt.
Und hier:
http://math.stackexchange.com/questions/1006120/at-which-p-adic-fields-does-the-equation-have-no-rational-solution
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