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p-adische Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Mo 04.09.2017
Autor: XiTzn

Aufgabe
Zeigen Sie, dass [mm] \IZ_p [/mm] als metrischer Raum mit der p-adischen Metrik
kompakt ist. Zeigen Sie auch, dass [mm] \IQ_p [/mm] lokalkompakt ist, d.h. jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt.

Könnte mir das bitte jemand verständlich erklären, da ich neu in den p-adischen Zahen bin.
Ich habe mir gedacht, dass der Satz von Tychonoff hier evtl. ganz hilfreich sein könnte.
Die p-adischen Zahlen haben wir über den projektiven Limes eingeführt mit der Definition:
Die ganzen p-adischen Zahlen für eine Primzahl p sind definiert durch
[mm] \IZ_p [/mm] = [mm] \left\{ (\bar x_k) \in \prod_{k=0}^{\infty} \IZ/(p^{k+1}\IZ) \left| x_{k+1} \equiv x_k (mod) p^{k+1} \right\} Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. [/mm]

        
Bezug
p-adische Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Mo 04.09.2017
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

du müsstest uns auch noch verraten, wie die Topologie auf [mm] $\IZ_p [/mm] $ erklärt wurde. Der Satz von Tychonoff würde sich anwenden lassen, wenn es sich um die Limes-Topologie auf dem proktiven Limes [mm] $\lim_n \IZ/p^{n+1} [/mm] $ endlicher, diskreter Ringe handeln würde. Dazu müsstest du zeigen, dass der Limes abgeschlossen im Produkt ist, welches Hausdorffsch und nach Tychonoff kompakt ist.

Falls die Topologie mithilfe der p-adischen Metrik eingeführt wurde, führt ein Folgen-Argument zum Ziel ("jede Folge besitzt einen Häufungspunkt"). Da die Elemente selbst Folgen sind, muss man hierbei etwas Ordnung im Kopf bewahren.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
p-adische Metrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:31 Di 05.09.2017
Autor: XiTzn

Das müsste dann die Limes-Topologie sein:
Mit der komponentenweisen Verknüpfung wird [mm] \IZ_p [/mm] zu einem kommutativen Ring mit 0 = [mm] (\bar 0)_{k \in \IN_0} [/mm] und 1 = [mm] (\bar 1)_{k \in \IN_0}. [/mm] Wir haben die kanonische Abbildung
[mm] \epsilon: \IZ \to \IZ_p [/mm]
x [mm] \mapsto (\bar x)_{k \in \IN_0} [/mm] = [mm] ((\bar [/mm] x), [mm] (\bar [/mm] x), [mm] \ldots [/mm] ).

Bezug
                        
Bezug
p-adische Metrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Di 05.09.2017
Autor: UniversellesObjekt

Also beide Varianten stimmen überein. Die Frage ist, welche bei euch zur Definition von [mm] $\IZ_p$ [/mm] gedient hat. Falls es die Limes-Topologie (auch die Initialtopologie genannt) war, habe ich in der letzten Antwort vollständig beschrieben, wie die Kompaktheit folgt. Hast du dort alles verstanden?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                
Bezug
p-adische Metrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:53 Di 05.09.2017
Autor: XiTzn

Eher weniger. Also ich habe schon verstanden, was Du meinst. Allerdings sagt mir das alles nicht wirkich etwas. D.h. ich hab keine wirkliche Idee wie ich anfangen soll, geschweige denn wie ich es dann beweisen soll.

Liebe Grüße
XiTzn

Bezug
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