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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Mo 12.01.2009 | | Autor: | winni87 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, das die p-Normen die Definition einer Norm erfüllen. |
Hallo,
ich soll, wie oben geschrieben, beweisen, dass die P-Normen die Definition einer Norm erfüllen. Hierzu habe ich die ersten 3 Bedingungen schon bewiesen und hänge jetzt an der Dreiecksungleichung. Als Tipp wurde gesagt, dass die Minkowski-Ungleichung der Analysis verwandt werden soll. Dazu habe ich mir den Wikipedia-Artikel durchgelesen, da wir diese Ungleichung in der Analysis-Vorlesung noch nicht hatten. Aber ich kann damit nicht die Dreiecksungleichung beweisen. Könnt ihr mir helfen?
die P-Normen sind definiert durch
[mm] ||x||_{p} [/mm] := [mm] (\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
und die Dreiecksungleichung
|| v+w || [mm] \le [/mm] ||v|| + ||w||
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Mo 12.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Das
[mm] \left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} [/mm] + [mm] \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}
[/mm]
ist die Minkowskische Ungleichung für reelle (oder komplexe) Zahlen [mm] x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n [/mm] .
Links steht $ [mm] ||x+y||_{p} [/mm] $ und rechts steht $ [mm] ||x||_{p} [/mm] $+$ [mm] ||y||_{p} [/mm] $
Wo ist jetzt Dein Problem ?????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Mo 12.01.2009 | | Autor: | winni87 |
Mein Problem ist vllt. ein blödes Problem, aber ich habe doch auf der linken Seite stehten:
[mm] \left( \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} [/mm] = [mm] (||x+y||_{p}) [/mm]
und das muss ich doch jetzt nach unten abschätzen, aber ich weiß halt nicht genau wie.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 12.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Du sollst doch zeigen:
$ [mm] ||x+y||_{p} [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] ||x||_{p} [/mm] $+$ [mm] ||y||_{p} [/mm] $
Genau das sagt die Minkowskische Ungl. aus !!!!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mo 12.01.2009 | | Autor: | winni87 |
Aber ich kann doch nicht einfach schreiben:
[mm] \left( \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} [/mm] + [mm] \left( \sum_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p} [/mm]
=
[mm] ||x+y||_{p} [/mm] /le [mm] ||x||_{p} [/mm] + [mm] ||y||_{p}
[/mm]
Das wäre doch viel zu "einfach"... das ist doch kein beweis?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mo 12.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Aber ich kann doch nicht einfach schreiben:
>
> [mm]\left( \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}[/mm]
> + [mm]\left( \sum_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p}[/mm]
> =
> [mm]||x+y||_{p}[/mm] /le [mm]||x||_{p}[/mm] + [mm]||y||_{p}[/mm]
>
> Das wäre doch viel zu "einfach"... das ist doch kein
> beweis?!
Doch. Du hast doch oben selbst geschrieben:
"Als Tipp wurde gesagt, dass die Minkowski-Ungleichung der Analysis verwandt werden soll."
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Mo 12.01.2009 | | Autor: | winni87 |
Nagut, dann werde ich das mal so hinnehmen.
Vielen Dank :)
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