p-stochastische Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Weiß bei folgender Aufgabe nicht weiter:
[mm] (X_{n})_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (Y_{n})_{n \in \IN} [/mm] seien reellwertige Zufallsvariable auf [mm] (\Omega, \cal{A}, \cal{P}) [/mm] mit [mm] X_{n} [/mm] konvergiert p-stochastisch gegen [mm] X_{0} [/mm] und [mm] Y_{n} [/mm] konvergiert p-stochastisch gegen [mm] Y_{0}.
[/mm]
Zeigen sie, dass
1. [mm] X_{n}+ Y_{n} [/mm] konvergiert p-stochastisch gegen [mm] X_{0}+Y_{0}
[/mm]
2. [mm] X_{n}*Y_{n} [/mm] konvergiert p-stochastisch gegen [mm] X_{0}*Y_{0}
[/mm]
3. falls [mm] f:\IR\to\IR [/mm] stetig, so [mm] f(X_{n}) [/mm] konvergiert p-stochastisch gegen [mm] f(X_{0})
[/mm]
gelten!
1. und 2. sind für mich völlig logisch, allerdings weiß ich nicht, wie ich das dann noch beweisen soll... Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Do 23.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich mache für dich mal die erste Teilaufgabe. Dann hast du ja einen Anhaltspunkt für die beiden anderen Teilaufgaben und kannst dazu eigene Ansätze beisteuern (vergleiche dazu auch die Forenregeln).
Es sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt. Dann gilt für alle $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $P(|(X_n+Y_n)-(X_0+Y_0)| \ge \varepsilon)$
[/mm]
[mm] $\le P(|X_n-X_0| [/mm] + [mm] |Y_n-Y_0| \ge \varepsilon)$
[/mm]
[mm] $\le P(\{|X_n-X_0| \ge\frac{\varepsilon}{2}\} \cup \{|Y_n-Y_0| \ge \frac{\varepsilon}{2}\})$
[/mm]
[mm] $\le P(|X_n-X_0| \ge \frac{\varepsilon}{2}) [/mm] + [mm] P(|Y_n-Y_0| \ge \frac{\varepsilon}{2})$.
[/mm]
Damit folgt aus [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} P(|X_n-X_0| \ge \frac{\varepsilon}{2})=0$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} P(|Y_n-Y_0) \ge \frac{\varepsilon}{2}) [/mm] =0$ auch
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} P(|(X_n+Y_n)-(X_0+Y_0)| \ge \varepsilon) [/mm] =0$.
Viele Grüße
Stefan
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