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p^2 gerade => p gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Di 03.03.2009
Autor: chorizo

Ich schäme mich, aber ich komme auf keinen Beweis für folgenden, sehr elementaren Sachverhalt:

Wenn [mm] p^2 [/mm] gerade, dann ist auch p gerade.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
p^2 gerade => p gerade: Widerspruch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo chorizo,

[willkommenmr] !!


Führe einen Widerspruchsbeweis, indem Du zu zeigen versuchst, dass $p_$ ungerade.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
p^2 gerade => p gerade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Di 03.03.2009
Autor: chorizo

Wie es ab und zu vorkommt, fällt mir die Lösung ein, sowie ich die Frage gestellt habe.

Widerspruchsbeweis hatte ich versucht, mir fiel aber -- bis eben gerade -- partout nicht ein, dass [p ungerade => p = (2*n)+1 mit n [mm] \in \IZ] [/mm]

Jetzt ist es mir aber klar:
Angenommen p ungerade
=> Ex. n [mm] \in \IZ [/mm] : p = (2*n) + 1
=> [mm] p^2 [/mm] = [mm] 4n^2 [/mm] + 4n + 1 = [mm] 2*(2n^2 [/mm] + 2n) + 1, also ungerade

Bezug
                        
Bezug
p^2 gerade => p gerade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Di 03.03.2009
Autor: weduwe


> Wie es ab und zu vorkommt, fällt mir die Lösung ein, sowie
> ich die Frage gestellt habe.
>  
> Widerspruchsbeweis hatte ich versucht, mir fiel aber -- bis
> eben gerade -- partout nicht ein, dass [p ungerade => p =
> (2*n)+1 mit n [mm]\in \IZ][/mm]
>  
> Jetzt ist es mir aber klar:
>  Angenommen p ungerade
>  => Ex. n [mm]\in \IZ[/mm] : p = (2*n) + 1

>  => [mm]p^2[/mm] = [mm]4n^2[/mm] + 4n + 1 = [mm]2*(2n^2[/mm] + 2n) + 1, also ungerade


damit beweist du allerdings (nur) , dass [mm] p^2 [/mm] ungerade, wenn p ungerade :-)

(dann beweise einfacher gleich, dass gilt p gerade [mm] \to p^2 [/mm] gerade)

Bezug
                                
Bezug
p^2 gerade => p gerade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 Di 03.03.2009
Autor: Gonozal_IX


>
> damit beweist du allerdings (nur) , dass [mm]p^2[/mm] ungerade, wenn
> p ungerade :-)

Woraus natürlich sofort folgt [mm] p^2 [/mm] gerade => p gerade :-)

MfG,
Gono.

Bezug
                                        
Bezug
p^2 gerade => p gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Di 03.03.2009
Autor: weduwe


> >
> > damit beweist du allerdings (nur) , dass [mm]p^2[/mm] ungerade, wenn
> > p ungerade :-)
>  
> Woraus natürlich sofort folgt [mm]p^2[/mm] gerade => p gerade :-)
>  
> MfG,
>  Gono.

wieso?


Bezug
                                                
Bezug
p^2 gerade => p gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Di 03.03.2009
Autor: schachuzipus

Hallo weduwe,

> > >
> > > damit beweist du allerdings (nur) , dass [mm]p^2[/mm] ungerade, wenn
> > > p ungerade :-)
>  >  
> > Woraus natürlich sofort folgt [mm]p^2[/mm] gerade => p gerade :-)
>  >  
> > MfG,
>  >  Gono.
>
> wieso?
>  

Weil die Grundannahme war, dass [mm] $p^2$ [/mm] gerade ist

Nun kann p ja nur gerade oder ungerade sein, der Fall p ungerade führt genau zum Widerspruch [mm] $p^2$ [/mm] ungerade


LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
p^2 gerade => p gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Di 03.03.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> > >
> > > damit beweist du allerdings (nur) , dass [mm]p^2[/mm] ungerade, wenn
> > > p ungerade :-)
>  >  
> > Woraus natürlich sofort folgt [mm]p^2[/mm] gerade => p gerade :-)
>  >  
> > MfG,
>  >  Gono.
>
> wieso?

er hat schon bewiesen: [mm] $p^2$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow$ $p\,$ [/mm] gerade (wobei hier sogar [mm] $\gdw$ [/mm] gelten würde).

Denn
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$

ist äquivalent zu

[mm] $$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg A)\,,$$ [/mm]
Stichwort: Kontraposition.

Oben ist die Aussage [mm] $A\,$: $p^2\,$ [/mm] gerade
und
Aussage [mm] $B\,$: $p\,$ [/mm] gerade.  

Damit ist die Behauptung

[mm] $p^2$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow$ $p\,$ [/mm] gerade

äquivalent zu

nicht [mm] ($p\,$ [/mm] gerade) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht [mm] ($p^2$ [/mm] gerade),

was nichts anderes als die Folgerung

[mm] $\,p$ [/mm] ungerade [mm] $\Rightarrow$ $p^2$ [/mm] ungerade

ist, und das letztstehende hat er bewiesen und wegen der Kontraposition damit auch die ursprüngliche Behauptung.

Gruß,
Marcel

Bezug
        
Bezug
p^2 gerade => p gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Di 03.03.2009
Autor: weduwe


> Ich schäme mich, aber ich komme auf keinen Beweis für
> folgenden, sehr elementaren Sachverhalt:
>  
> Wenn [mm]p^2[/mm] gerade, dann ist auch p gerade.
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

idee:

da [mm] p^2 [/mm] gerde, folgt [mm] p^2=2m [/mm]
[mm] m=2u^2 [/mm]

[mm] p=\sqrt{4u^2}=2u \to [/mm] p gerade

Bezug
                
Bezug
p^2 gerade => p gerade: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 20:38 Di 03.03.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> > Ich schäme mich, aber ich komme auf keinen Beweis für
> > folgenden, sehr elementaren Sachverhalt:
>  >  
> > Wenn [mm]p^2[/mm] gerade, dann ist auch p gerade.
>  >  
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>  >  
>
> idee:
>  
> da [mm]p^2[/mm] gerde, folgt [mm]p^2=2m[/mm]
>  [mm]m=2u^2[/mm]
>  
> [mm]p=\sqrt{4u^2}=2u \to[/mm] p gerade

ich sehe in Deinem "Beweis" keine Begründung für [mm] $m=2u^2\,.$ [/mm] Wenn [mm] $p^2$ [/mm] gerade ist, dann ist [mm] $p=2m\,$ [/mm] mit einem $m [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Dass dann [mm] $m=2u^2$ [/mm] mit einem $u [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt, ist zwar richtig, aber die Begründung würde sicher 'normalerweise' eben so stattfinden, dass man dafür benutzt:
[mm] $p^2$ [/mm] gerade genau dann, wenn [mm] $p\,$ [/mm] gerade.

Dein Beweis oben ist so jedenfalls kein Beweis der Behauptung, jedenfalls nicht, ohne eine Ergänzung, die die Gleichung [mm] $m=2u^2$ [/mm] mit einem $u [mm] \in \IZ$ [/mm] begründet.

Im Prinzip machst Du oben nichts anderes als:
Okay, wenn [mm] $p^2$ [/mm] gerade ist, und ich $p=2u$ schreibe, dann ist [mm] $p^2=4u^2$ [/mm] gerade, passt also.
Das könnte man bestenfalls als Beweis der Folgerung

[mm] $\,p$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow$ $p^2$ [/mm] gerade

ansehen, also als Beweis der umgekehrten Richtung von der Behauptung

[mm] $p^2$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow$ $p\,$ [/mm] gerade.

Im allgemeinen ist aber

$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$

nicht äquivalent zu

$$B [mm] \Rightarrow A\,,$$ [/mm]

Du hast also bzgl. der behaupteten Folgerung

[mm] $p^2$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow$ $p\,$ [/mm] gerade

gar nichts gezeigt.

Übrigens hat Dein "Beweis" auch an einer anderen Stelle eine (allerdings hier nicht besonders in Gewicht fallende) Schwachstelle:
Aus [mm] $p^2=4u^2$ [/mm] folgt nicht [mm] $p=\sqrt{4u^2}=2u\,.$ [/mm] Es gilt vielmehr
[mm] $$p^2=4u^2 \Rightarrow (p=2|u|\;\text{ oder }\;p=-2|u|)\,.$$ [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
        
Bezug
p^2 gerade => p gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Di 03.03.2009
Autor: reverend

Hallo chorizo,

das ist direkt - also ohne Widerspruchbeweis, den Du ja richtig geführt hast - nur mit dem []Fundamentalsatz der Arithmetik zu zeigen.

Wenn [mm] p^2=2m, [/mm] dann muss der Primfaktor 2 auf der rechten Seite in einem der beiden Faktoren der linken Seite (also in p oder in p) enthalten sein, also p=2n.

Der Satz ist zwar erst von Gauß korrekt bewiesen, wird aber - eben für eine Folgerung von Quadraten und dem Primfaktor 2 - bereits von Euklid in seinem berühmten []Beweis der Irrationalität von $ \blue{\wurzel{2}} $ vorausgesetzt und richtig angewandt.

Grüße
reverend

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