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Forum "Zahlentheorie" - p–adischen Zahlen
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p–adischen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Di 20.04.2010
Autor: Joan2

Zeigen Sie, dass die folgende 5–adische unendliche Reihe konvergiert und bestimmen Sie die Grenzwerte.

2 + 3 · 5 + [mm] 5^2 [/mm] + 3 · [mm] 5^3 [/mm] + [mm] 5^4 [/mm] + 3 · [mm] 5^5 [/mm] + [mm] 5^6 [/mm] + . . . = ?

Kann mir einer sagen wie ich anfangen soll? Wenn ich die Reihe fortsetze geht das doch gegen [mm] \infty. [/mm]

Viele Grüße
Joan

        
Bezug
p–adischen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 Di 20.04.2010
Autor: abakus


> Zeigen Sie, dass die folgende 5–adische unendliche Reihe
> konvergiert und bestimmen Sie die Grenzwerte.
>  
> 2 + 3 · 5 + [mm]5^2[/mm] + 3 · [mm]5^3[/mm] + [mm]5^4[/mm] + 3 · [mm]5^5[/mm] + [mm]5^6[/mm] + . . .
> = ?
>  
> Kann mir einer sagen wie ich anfangen soll? Wenn ich die
> Reihe fortsetze geht das doch gegen [mm]\infty.[/mm]
>  
> Viele Grüße
>  Joan

Hallo,
kann es sein, dass die Exponenten jeweils negativ sein sollten [mm] (5^{-1} [/mm] usw.)? So macht es keinen Sinn.
Gruß Abakus


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p–adischen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:28 Di 20.04.2010
Autor: Joan2

Also laut Übungsblatt sind sie positiv. Es sind auch noch weitere Reihen angegeben, ebenfalls positiv.

4 + 4 · 5 + 4 · [mm] 5^2 [/mm] + 4 · [mm] 5^3 [/mm] + . . . = ?
3 + 2 · 5 + 2 · [mm] 5^2 [/mm] + 2 · [mm] 5^3 [/mm] + . . . = ?
1 + [mm] 5^2 [/mm] + [mm] 5^4 [/mm] + [mm] 5^6 [/mm] + . . . = ?



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p–adischen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:28 Di 20.04.2010
Autor: SEcki


>  kann es sein, dass die Exponenten jeweils negativ sein
> sollten [mm](5^{-1}[/mm] usw.)?

Nein.

> So macht es keinen Sinn.

[]Doch!.

Leider habe ich selber davon nicht mehr Ahnung, als das es dies gibt, daher kann ich bei der Aufgabe nicht helfen ohne mir selbst erstmal die Grundlagen beizubringen ... :-)

SEcki

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p–adischen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:39 Di 20.04.2010
Autor: reverend

Guten Abend,

wenn man SEckis Link folgt, sollte man (dezimal) auf [mm] \tfrac{8}{15} [/mm] kommen, bzw. 5-adisch [mm] \tfrac{13_5}{30_5} [/mm]

Grüße
reverend

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p–adischen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:08 Mi 21.04.2010
Autor: felixf

Moin Reverend,

> wenn man SEckis Link folgt, sollte man (dezimal) auf
> [mm]\tfrac{8}{15}[/mm] kommen, bzw. 5-adisch [mm]\tfrac{13_5}{30_5}[/mm]

da man [mm] $\IZ$ [/mm] kanonisch in den Ring der $p$-adischen Zahlen einbetten kann, wuerde man den Bruch als [mm] $\frac{8}{15}$ [/mm] schreiben und nicht als [mm] $\frac{13_5}{30_5}$. [/mm]

Allerdings bin ich gerade verwundert, dass ein Bruch herauskommt, dessen Nenner keine Einheit in [mm] $\IZ_5$ [/mm] (Ring der $5$-adischen Zahlen) ist, da das ganze doch einfach ein Element aus [mm] $\IZ_5$ [/mm] sein sollte und nicht aus [mm] $\IQ_5 \setminus \IZ_5$. [/mm]

Ich hab's auch mal nachgerechnet, und indem ich es zu $2 + 5 (3 + 5) [mm] \sum_{i=0}^\infty (5^2)^i$ [/mm] umgeschrieben hab und die geometrische Reihe verwendet hab, erhalte ich [mm] $\frac{1}{3}$. [/mm] Das ist auch ein Element aus [mm] $\IZ_5$ [/mm] :-)

LG Felix


PS: Zur Konvergenz: damit [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] in [mm] $\IZ_5$ [/mm] konvergiert, reicht es zu zeigen, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = 0$ ist (in der $5$-adischen Topologie), also dass [mm] $\lim_{n\to\infty} |a_n|_5 [/mm] = 0$ ist (in der klassischen Topologie). Da jedoch [mm] $a_n$ [/mm] ein Vielfaches von [mm] $5^n$ [/mm] ist, ist also [mm] $|a_n|_5 \le 5^{-n}$, [/mm] und das geht offensichtlich gegen 0 fuer $n [mm] \to \infty$. [/mm]


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p–adischen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Sa 24.04.2010
Autor: reverend

Hallo Felix,

danke für die Erklärung samt Korrektur!

Herzliche Grüße :-)
reverend

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p–adischen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:13 Mi 21.04.2010
Autor: felixf

Hallo Joan!

> Zeigen Sie, dass die folgende 5–adische unendliche Reihe
> konvergiert und bestimmen Sie die Grenzwerte.
>  
> 2 + 3 · 5 + [mm]5^2[/mm] + 3 · [mm]5^3[/mm] + [mm]5^4[/mm] + 3 · [mm]5^5[/mm] + [mm]5^6[/mm] + . . .
> = ?
>  
> Kann mir einer sagen wie ich anfangen soll? Wenn ich die
> Reihe fortsetze geht das doch gegen [mm]\infty.[/mm]

Wie du schon drauf hingewiesen wurdest: du bist hier in den $5$-adischen Zahlen (mit der zugehoerigen Topologie) und nicht in den "normalen" ganzen Zahlen.

Damit eine Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] in [mm] $\IZ_5$ [/mm] konvergiert, muss [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = 0$ sein in [mm] $\IZ_5$; [/mm] oder anders: es muss [mm] $\lim_{n\to\infty} |a_n|_5 [/mm] = 0$ sein. Kannst du etwas ueber [mm] $|a_n|_5$ [/mm] aussagen? (Bzw. ueberhaupt erstmal ueber [mm] $a_n$?) [/mm]


Nun zum Bestimmen des Wertes der Reihe. Das wichtigste Hilfsmittel lautet hier mal wieder: die geometrische Reihe. Die funktioniert bei den $p$-adischen Zahlen genauso, wenn [mm] $|a|_p [/mm] < 1$ ist, dann ist [mm] $\sum_{n=0}^\infty a^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - a}$. [/mm]

Wenn du in den normalem Dezimalsystem $1.212121... = 1 + 2 [mm] \cdot 10^{-1} [/mm] + 1 [mm] \cdot 10^{-2} [/mm] + 2 [mm] \cdot 10^{-3} [/mm] + 1 [mm] \cdot 10^{-4} [/mm] + 2 [mm] \cdot 10^{-5} [/mm] + ...$ ausrechen willst, schreibst du dies doch um als $(1 + 2 [mm] \cdot 10^{-1}) \sum_{n=0}^\infty 10^{-2 n}$ [/mm] und wendest die geometrische Reihe an auf [mm] $\sum_{n=0}^\infty (10^{-2})^n$, [/mm] da [mm] $|10^{-2}| [/mm] < 1$ ist.

Also, was kannst du hier tun?

LG Felix


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p–adischen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Do 22.04.2010
Autor: Joan2

Hallo,
danke für die Hilfen. Ich verstehe jetzt wie du auf den Wert der Reihe gekommen bist, aber wofür hat man jetzt $ [mm] \lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = 0 $ gebraucht? Das wurde doch gar nicht angewendet?
Gruß
Joan

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p–adischen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:33 Do 22.04.2010
Autor: felixf

Hallo Joan

>  danke für die Hilfen. Ich verstehe jetzt wie du auf den
> Wert der Reihe gekommen bist, aber wofür hat man jetzt
> [mm]\lim_{n\to\infty} a_n = 0[/mm] gebraucht? Das wurde doch gar
> nicht angewendet?

Ich habe es gebraucht, damit ich weiss dass die Reihe konvergiert, und ich somit mit ihr arbeiten darf wie mit einer konvergenten Reihe.

Ausserdem stand in eurer Aufgabenstellung, dass ihr zeigen sollt das die Reihe konvergiert.

LG Felix


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p–adischen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:32 Fr 23.04.2010
Autor: Joan2

Achso, verstanden. Vielen Dank für die Hilfe :)

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