paarw. Unabh. von Ereignissen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Di 25.05.2010 | | Autor: | New_ID |
| Aufgabe | Zwei unterscheidbare Würfel werden gleichzeitig geworfen. Zu betrachten sind folgende Ereignisse:
A1: beide Würfel haben die gleiche Augenzahl
A2: der zweite Würfel zeigt 4
A3: die Summe der Augenzahlen ist durch 4 teilbar
Welche 2 Ereignisse sind unabhängig? |
Halli hallo zusammen,
da ich in dem Forum neu bin, wollte ich erst einmal alle begrüßen und zum Ausdruck bringen wie super ich es finde, dass ihr hier ehrenamtlich helft :)
So, nun zu meinem Anliegen. Wie in der Aufgabenstellung gegeben, suche ich diejenigen Ereignisse, welche paarweise unabhängig sind. Mein Ansatz bisher sieht so aus:
Ich habe eine (mögliche) Gesamtlösungsmenge "Omega" = {1,2,3,4,5,6}, da ein Würfel nunmal 6 Seiten hat.
Nun hab ich mir gedacht, dass ich ja 2 unterscheidbare Würfel habe, nutze ich dafür auch 2 Indizes und errechne daraus die Wahrscheinlichkeit. Diese schaut daher so aus: P({i} * {j}) = 1/6 * 1/6 = 1/36. (klingt soweit auch logisch, da ich ja bei 2 Würfeln insgesamt 36 verschiedene mögliche Kombinationen von Würfen habe)
Im nächsten Schritt habe ich dann die Ereignisse A1, A2 und A3 ausformuliert:
A1 = {{1,1},{2,2},{3,3},{4,4},{5,5},{6,6}}
A2 = {{1,4},{2,4},{3,4}{4,4},{5,4},{6,4}}
A3 = {{2,6},{6,2},{4,4},{6,6}}
Zur Erläuterung warum ich bei A3 einmal {2,6} und dann nochmal umgedreht {6,2} habe. Da die beiden Würfel unterscheidbar sind, dachte ich mir, dass es auch einen Unterschied macht in welcher Reihenfolge diese in dem Ereignis A3 stehen. In den Ereignissen A1 und A2 stellt sich diese Frage nicht, da in der Ereignisbeschreibung dieses Problem nicht auftritt.
Ich denke bis dahin ist mein Ansatz korrekt (bitte berichtigt mich wenn ich mich irre). Beim nächsten Schritt komme ich jedoch nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich diese Ereignis(-mengen) miteinander vergleichen soll. In der Vorlesung hab ich es so verstanden, dass die Unabhängigkeit dadurch begründet wird, dass die Schnittmenge zweier Ereignisse wieder die Ausgangswahrscheinlichkeit für ein Ereignis ergibt (in dieser Aufgabe also das P({i}*{j}) = 1/36). Auch bin ich mir unsicher ob die doppelte geschweifte Klammerung bei den Ereignissen so in Ordnung geht, da das Vorlesungsbeispiel wesentlich einfacher war und ich nur einen Index (P({i}) hatte.
Danke für jegliche Hilfe vorab und entschuldigt, falls ich irgendeine Forumregel durch Unachtsamkeit überlesen habe ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Ich habe eine (mögliche) Gesamtlösungsmenge "Omega" =
> {1,2,3,4,5,6}, da ein Würfel nunmal 6 Seiten hat.
Nö, du hast [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\}^2$, [/mm] da du ja 2 Wüfel mit 6 Seiten hast. Aber genau so arbeitest du ja später auch.
> Im nächsten Schritt habe ich dann die Ereignisse A1, A2
> und A3 ausformuliert:
> A1 = {{1,1},{2,2},{3,3},{4,4},{5,5},{6,6}}
> A2 = {{1,4},{2,4},{3,4}{4,4},{5,4},{6,4}}
> A3 = {{2,6},{6,2},{4,4},{6,6}}
Eine Kleinigkeit vorweg: Tupel schreibt man nicht mit geschweiften Klammern, sondern Mengen.
Tupel schreibt man mit normalen Klammern, d.h deine Menge [mm] A_1 [/mm] hätte die Form:
[mm] $A_1 [/mm] = [mm] \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$
[/mm]
Das ist ein Unterschied, da in Tupel die Reihenfolge gilt und bei Mengen nicht. Zumal gilt bei der Mengen:
[mm] $\{1,1\} [/mm] = [mm] \{1\}$, [/mm] da in einer Menge ein Element eben vorkommt, oder eben nicht.
Aber das nur am Rande.
Die gute Nachricht: [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] sind (bis auf die Schreibweise) korrekt.
Bei [mm] A_3 [/mm] fehlen einige(!) Tupel. Schau dir die Menge nochmal an.
> Zur Erläuterung warum ich bei A3 einmal {2,6} und dann
> nochmal umgedreht {6,2} habe. Da die beiden Würfel
> unterscheidbar sind, dachte ich mir, dass es auch einen
> Unterschied macht in welcher Reihenfolge diese in dem
> Ereignis A3 stehen. In den Ereignissen A1 und A2 stellt
> sich diese Frage nicht, da in der Ereignisbeschreibung
> dieses Problem nicht auftritt.
Gut erkannt und völlig korrekt!
> Beim nächsten Schritt
> komme ich jedoch nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich
> diese Ereignis(-mengen) miteinander vergleichen soll. In
> der Vorlesung hab ich es so verstanden, dass die
> Unabhängigkeit dadurch begründet wird, dass die
> Schnittmenge zweier Ereignisse wieder die
> Ausgangswahrscheinlichkeit für ein Ereignis ergibt.
Hm, ok, fassen wir das mal in Formeln zusammen: Um zu prüfen ob [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] unabhängig sind, muss also gelten:
[mm] $P(A_1 \cap A_2) [/mm] = [mm] P(A_1)*P(A_2)$
[/mm]
Überleg dir dafür: Was ist [mm] P(A_1), P(A_2)? [/mm] Wie sieht [mm] $A_1 \cap A_2$ [/mm] aus (angeben!) und berechne [mm] P(A_1 \cap A_2). [/mm] Dann einfach vergleichen 
> Danke für jegliche Hilfe vorab und entschuldigt, falls ich
> irgendeine Forumregel durch Unachtsamkeit überlesen habe
Du hast auch hier alles richtig gemacht. Eigene Ansätze bis man nicht mehr weiterkommt. Prima!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 25.05.2010 | | Autor: | New_ID |
Vielen Dank ersteinmal für die schnelle und nette Antwort und die nützlichen Hinweise :)
Ja solche Dinge sollte ich zukünftig nicht direkt nach dem Mittagsschlaf runterschreiben, da hab ich doch die Hälfte unterschlagen.^^ Die Ereignismenge von A3 schaut korrekterweise natürlich so aus:
A3 = {(2,6),(6,2),(4,4),(3,5),(5,3),(1,3),(3,1),(6,6)}
(jetzt auch mit einfacher Klammerung)
Nagut, dann versuche ich mich mal daran die Unabhängigkeit zu prüfen:
P(A1 [mm] \cap [/mm] A2) = P(A1) * P(A2)= P({4,4}) = 1/6 * 1/6 = 1/36
Da hier ja nun ein einziges Ereignis aus 36 verschiedenen Möglichkeiten herauskommt, sollte mit 1/36 die Unabhängigkeit von von A1 und A2 bewiesen sein oder? Wenn das korrekt ist, würde ich die verbliebenen Möglichkeiten mit A1 [mm] \cap [/mm] A3 und A2 [mm] \cap [/mm] A3 ebenso prüfen.
Danke für die Hilfe im Voraus! :)
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Auf ein neues.
> A3 = {(2,6),(6,2),(4,4),(3,5),(5,3),(1,3),(3,1),(6,6)}
Ein Tupel hast du noch vergessen.
Nochmal drüberschauen 
> (jetzt auch mit einfacher Klammerung)
>
> Nagut, dann versuche ich mich mal daran die Unabhängigkeit
> zu prüfen:
>
> P(A1 [mm]\cap[/mm] A2) = P(A1) * P(A2)= P({4,4}) = 1/6 * 1/6 = 1/36
Hier direkt das erste Gleichheitszeichen zu schreiben ist erstmal falsch, denn das sollst du ja gerade prüfen.
Mein Tip dazu immer: Fang links an und form solange um, bis da die rechte Seite dasteht, denn dann liest sich jeder Schritt auch verständlich.
Und eine kleine Anmerkung: formal wäre [mm] $P(\{4,4\})$ [/mm] falsch, es muss [mm] $P\left(\{(4,4)\}\right)$ [/mm] heissen. (Ich denke es ist klar warum).
Sauber aufgeschrieben wie ich es meinte (und es sich dann auch schön liest), säh es dann wie folgt aus:
$P(A1 [mm] \cap [/mm] A2) = [mm] P\left(\{(4,4)\}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{36} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] = [mm] P(A_1) [/mm] * [mm] P(A_2)$
[/mm]
So kann man jeden Schritt ohne überlegen leicht nachvollziehen und links und rechts der Gleichungskette steht das, was man haben will.
(Wenn nachher vllt. auftritt, dass 2 Mengen NICHT unabhängig sind, setzt man an der entsprechenden Stelle einfach ein [mm] \not=)
[/mm]
> Da hier ja nun ein einziges Ereignis aus 36 verschiedenen
> Möglichkeiten herauskommt, sollte mit 1/36 die
> Unabhängigkeit von von A1 und A2 bewiesen sein oder? Wenn
> das korrekt ist, würde ich die verbliebenen Möglichkeiten
> mit A1 [mm]\cap[/mm] A3 und A2 [mm]\cap[/mm] A3 ebenso prüfen.
Na dann mach mal und schreib das wie oben auf.
Dann sehen wir ja, ob du es verstanden hast
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Di 25.05.2010 | | Autor: | New_ID |
Achherje, da ist mir ja doch noch ein Fehler unterlaufen :( Ja die Flusigkeit manchmal^^ Danke nochmals für die Hinweise!
A3 = {(2,6),(6,2),(4,4),(6,6),(3,5),(5,3),(1,3),(3,1),(2,2)}
(ich hoffe dies ist abschließend nun korrekt :) )
Stimmt, deine Schreibweise hab ich auch in meinen Aufzeichnungen zur Vorlesung.
Jetzt mal die Prüfung für die anderen beiden Fälle wie ich dich verstanden habe:
P(A1 [mm] \cap [/mm] A3) = P({(2,2),(4,4),(6,6)}) = 3/36 [mm] \not= [/mm] 1/6 * 1/6 = P(A1) * P(A3)
(keine Unabhängigkeit)
P(A2 [mm] \cap [/mm] A3) = P({(4,4)}) = 1/36 = 1/6 * 1/6 = P(A2) Ü P(A3)
(Unabhängigkeit bewiesen)
Hab ich das so richtig gemacht?
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Hiho,
> A3 =
> {(2,6),(6,2),(4,4),(6,6),(3,5),(5,3),(1,3),(3,1),(2,2)}
> (ich hoffe dies ist abschließend nun korrekt :) )
Nun passts.
> P(A1 [mm]\cap[/mm] A3) = P({(2,2),(4,4),(6,6)}) = 3/36
Ok, bis hierhin stimmt es.
> [mm]\not=[/mm] 1/6 * 1/6 = P(A1) * P(A3)
So, lesen wir das mal von rechts nach links (denn das sollen wir ja prüfen).
Was ist denn [mm] $P(A_1) [/mm] * [mm] P(A_3)$? [/mm] Doch nicht [mm] $\bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6}$.....
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 25.05.2010 | | Autor: | New_ID |
Ah okay, ich bin jetzt davon ausgegangen, dass die 6 im Nenner für die möglichen Augenzahlen steht. Jedoch scheint sie für die Anzahl von Tupeln der jeweiligen Ereignismenge zu stehen ist das richtig?
Wenn ja, haben wir nun:
P(A1 [mm] \cap [/mm] A2) = P({2,2},{4,4},{6,6}) = 3/36 [mm] \not= [/mm] 1/6 * 1/9 = P(A1) * P(A3)
Bin ich auf dem richtigen Weg? Entschuldige, mathematisch bin ich echt ein schwerer Fall^^
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Örks, nein......
ui ui ui, da müssen wir ja ganz von vorn anfangen
Also mal ein paar Beispiele:
Sei [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\}$, [/mm] d.h. der einfache Würfelwurf
Wie wahrscheinlich ist es nun, dass
A - Der Würfel eine gerade Zahl zeigt
B - Der Würfel eine Zahl zeigt, die durch 3 teilbar ist
C - Der Würfel die Augenzahl 2 zeigt
Also mit anderen Worten: Was ist P(A), P(B), P(C) ?
Warum und wie kommst du drauf?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 25.05.2010 | | Autor: | New_ID |
Tut mir Leid dass ich so ein schwerer Fall bin^^
Ja also P(A) bis P(C) sind die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Ereignisbeschreibung eintritt. Dabei kommt die (mögliche) Gesamtlösungsmenge in den Nenner und die Anzahl davon, welche auf die Ereignisbeschreibung trifft, in den Zähler. Das gilt dann für den einfachen Wurf mit einem Würfel:
P(A) = 3/6
P(B) = 2/6
P(C) = 1/6
Hmm dann müsste die Lösung von P(A3) aus meiner Aufgabe also 9/36, also 1/4 heißen, korrekt? Weil A3 ja insgesamt 9 Tupel enthält, welche aus den 36 Gesamtmöglichkeiten stammt oder?
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> Tut mir Leid dass ich so ein schwerer Fall bin^^
Kein Ding, wir machen ja Fortschritte......
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> Ja also P(A) bis P(C) sind die jeweiligen
> Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Ereignisbeschreibung
> eintritt. Dabei kommt die (mögliche) Gesamtlösungsmenge
> in den Nenner und die Anzahl davon, welche auf die
> Ereignisbeschreibung trifft, in den Zähler. Das gilt dann
> für den einfachen Wurf mit einem Würfel:
>
> P(A) = 3/6
> P(B) = 2/6
> P(C) = 1/6
>
> Hmm dann müsste die Lösung von P(A3) aus meiner Aufgabe
> also 9/36, also 1/4 heißen, korrekt? Weil A3 ja insgesamt
> 9 Tupel enthält, welche aus den 36 Gesamtmöglichkeiten
> stammt oder?
Genau so!
So, und jetzt berechnest du mal nach und nach:
[mm] $P(A_1 \cap A_2)$ [/mm] und dann [mm] $P(A_1)P(A_2)$ [/mm]
[mm] $P(A_1 \cap A_3)$ [/mm] und dann [mm] $P(A_1)P(A_3)$ [/mm]
[mm] $P(A_3 \cap A_2)$ [/mm] und dann [mm] $P(A_3)P(A_2)$ [/mm]
Und vergleichst jeweils, ob sie gleich sind.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 25.05.2010 | | Autor: | New_ID |
Okay dann hab ich nun hoffentlich alles richtig gemacht.
P(A1 [mm] \cap [/mm] A2) = 1/36 P(A1) * P(A2) = 1/6 * 1/6 = 1/36
(Unabhängigkeit ist bewiesen)
P(A1 [mm] \cap [/mm] A3) = 3/36 P(A1) * P(A3) = 1/6 * 9/36 = 1/24
(keine Unabhängigkeit)
P(A2 [mm] \cap [/mm] A3) = 1/36 P(A2) * P(A3) = 1/6 * 9/36 = 1/24
(keine Unabhängigkeit)
So vielleicht?^^
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So ist schick :-D
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Di 25.05.2010 | | Autor: | New_ID |
Mensch das war aber eine schwere Geburt >.<
Hab super vielen Dank, auch für deine Geduld mit dem schwierigen Schüler^^ Einen schönen Abend wünsche ich noch :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Di 25.05.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Und nächstemal machste das bitte als Mitteilung, damit es nicht rot leuchtet
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Di 25.05.2010 | | Autor: | New_ID |
Ups ok, wieder was dazu gelernt :)
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