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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 So 26.09.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Durch einen indirekten Beweis soll gezeigt werden, dass wenn aus den paarweise verschiedenen Zahlen q,r,s,t (mit q,r,s,t [mm] $\in \IR$) [/mm] auf die folgende Art neue Zahlen gebildet werden:
$a:=(q+r)(s+t)$, $b:=(q+s)(r+t)$, $c:=(q+t)(r+s)$.
a,b und c ebenfalls paarweise verschieden sind. |
Paarweise verschieden heisst ja, dass keine zwei gleich sind. Also wäre ja die Gegenbehauptung, dass [mm]a=b[/mm].
[mm](q+r)(s+t)=(q+s)(r+t)=
qs+rs+tq+tr=qr+rs+tq+ts=
q(s-r)=t(s-r)=
q=t[/mm]
was ja aber nicht sein kann da am Anfang festgelegt wurde dass [mm] $q\ne [/mm] t$. Reicht das jetzt schon als Beweis für die Behauptung, oder muss ich die Fälle a=c und c=b auch noch prüfen, weil es ja sein kann dass zum Beispiel 2 gleich sind (wie bei 3,2,2).
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hi Kushkush,
Deine Argumentationskette reicht völlig. Das was Du angewendet hast, ist ein Beweis durch Widerspruch. Den Widerspruch hast Du herbeigeführt.
Du musst auch c nicht extra berücksichtigen, weil sich b und c vertauschen, wenn Du s und t vertauschst.
Wenn es also eine Lösung geben würde mit a=c, dann würde es zwangsläufig auch eine für a=b geben!
Allerdings ist Deine Notation nicht ganz sauber. Du hast die Gleichung umgeformt und sie mit der ursprünglichen Gleichung gleichgesetzt, das würde so wie Du es schreibst ja bedeuten:
a=(q+r)(s+t)=q
Das stimmt natürlich nicht.
Gruß
Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 So 26.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Dankeschön für die Hinweise jbulling.
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