parallelogramm beweisen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 So 27.02.2011 | | Autor: | susi111 |
wir sollen beweisen dass wenn man die mittelpunkte der 4 seiten eines beliebigen vierecks verbinden, ein parallelogramm entsteht.
dabei müssen die richtungsvektoren gleich sein.
wir sollen uns vorstellen, dass die mittelpunkte der 4 seiten in einem raum liegen und ortsvektoren sind.
das bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
die richtungsvektoren müssen gleich oder vielfache sein. wir haben aufgeschrieben:
[mm] 0,5(\vec{a}+\vec{b})-0,5(\vec{b}+\vec{c})
[/mm]
= [mm] 0,5\vec{a}-0,5\vec{c}
[/mm]
wie kommt man auf die gleichung? woher weiß ich, was ich von was abziehen muss? was ist [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}?
[/mm]
kann man auch schreiben:
[mm] 0,5(\vec{b}+\vec{c})-0,5(\vec{a}+\vec{b})
[/mm]
= [mm] 0,5\vec{c}-0,5\vec{a}
[/mm]
?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 27.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi susi,
mit [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} [/mm] sind die Ortsvektoren der Punkte A, B, C, D gemeint.
[mm] \overrightarrow{m}_{AB}=0,5*(\vec{a}+\vec{b}) [/mm] bezeichnet dann den Ortsvektor des Mittelpunkts [mm] M_{AB} [/mm] der Strecke [mm] \overline{AB},
[/mm]
analog dazu ist [mm] \overrightarrow{m}_{BC}=0,5*(\vec{b}+\vec{c}) [/mm] der Ortsvektor des Mittelpunkts [mm] M_{BC} [/mm] der Strecke [mm] \overline{BC}.
[/mm]
Allgemein: Eine Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] wird als Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] durch ihre Orstvektoren durch [mm] \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a} [/mm] dargestellt.
Die Strecke [mm] \overline{M_{BC}M}_{AB} [/mm] ist nun eine Seite des Paralellogramms. Als Vektor [mm] \overrightarrow{M_{BC}M}_{AB} [/mm] durch ihre Ortsvektoren dargestellt, ergibt sich [mm] \overrightarrow{M_{BC}M}_{AB}=\overrightarrow{m}_{AB}-\overrightarrow{m}_{BC}.
[/mm]
> kann man auch schreiben:
> [mm]0,5(\vec{b}+\vec{c})-0,5(\vec{a}+\vec{b})[/mm]
> = [mm]0,5\vec{c}-0,5\vec{a}[/mm]
> ?
Geht schon, das wäre dann der Vektor, der von [mm] M_{AB} [/mm] nach [mm] M_{BC} [/mm] geht, also entgegengesetzt.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 So 27.02.2011 | | Autor: | susi111 |
$ [mm] 0,5(\vec{a}+\vec{b})-0,5(\vec{b}+\vec{c}) [/mm] $
= $ [mm] 0,5\vec{a}-0,5\vec{c} [/mm] $
wenn man das so schreibt, was ist dann das ergebnis, am bild ausgedrückt? welche strecke ist das?
normalerweise muss das doch die strecke [mm] M_{AD} [/mm] zu [mm] M_{CD} [/mm] sein oder? aber wieso dann [mm] 0,5\vec{a} [/mm] bzw. [mm] 0,5\vec{c}? [/mm] was soll das ausdrücken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 So 27.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi,
du darfst nicht vergessen, dass Vektoren immer nur eine Richtung (und eine Länge) repräsentieren.Mann kann sie aber an beliebige Punkte "ansetzen", also dazuaddieren. ZB. kann man einen Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] am Punkt A ansetzten, dann landet man bei B. Man kann ihn auch bei B ansetzen, dann landet man woanders. Dieses "woandes" ist aber genausoweit weg wie B von A und liegt dann auch in derselben Richtung. Setzt man ihn zB. am Ursprung an, erhält man eine zu [mm] \overline{AB} [/mm] parallele Strecke, die auch genauso lang ist
> [mm]0,5(\vec{a}+\vec{b})-0,5(\vec{b}+\vec{c})[/mm]
> = [mm]0,5\vec{a}-0,5\vec{c}[/mm]
>
> wenn man das so schreibt, was ist dann das ergebnis, am
> bild ausgedrückt? welche strecke ist das?
Das ist nicht eine ganz bestimmte Strecke zu deuten, repräsentiert aber die Länge und Richtung von [mm] 0,5\vec{a}-0,5\vec{c}=0,5(\vec{a}-\vec{c})=0,5\overrightarrow{CA}, [/mm] also der halben Strecke von [mm] \overline{CA}
[/mm]
Man sieht dann, dass es von [mm] M_{AB} [/mm] nach [mm] M_{BC} [/mm] genauso halb so weit ist, wie von B nach C und diese Strecken auch parallel sind.
>
> normalerweise muss das doch die strecke [mm]M_{AD}[/mm] zu [mm]M_{CD}[/mm]
Du meinst B anstatt D.
> sein oder? aber wieso dann [mm]0,5\vec{a}[/mm] bzw. [mm]0,5\vec{c}?[/mm] was
> soll das ausdrücken?
Siehe oben, wenn man's umformt, wirds klarer (hoffentlich).
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Mo 28.02.2011 | | Autor: | susi111 |
ich verstehe immer noch nicht die beziehung von
$ [mm] 0,5(\vec{a}+\vec{b})-0,5(\vec{b}+\vec{c}) [/mm] $
zu
= $ [mm] 0,5\vec{a}-0,5\vec{c} [/mm] $
wie ich auf $ [mm] 0,5(\vec{a}+\vec{b})-0,5(\vec{b}+\vec{c}) [/mm] $ komme, hab ich glaub ich verstanden. dann bekomme ich die strecke [mm] M_{AB} [/mm] bis [mm] M_{BC} [/mm] heraus, also eine strecke des parallelogramms.
jetzt dachte ich, dass ich durch umformen auf die andere seite des parallelogramms kommen muss, also [mm] M_{AD} [/mm] bis [mm] M_{CD}. [/mm] aber ich komme auf diese komische gleichung $ [mm] 0,5\vec{a}-0,5\vec{c} [/mm] $, mit der ich nichts anfangen kann. auch wenn ich es umforme nicht... dann bekomme ich heraus [mm] 0,5((\vec{a}-\vec{c}). [/mm] dass soll die hälfte von [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] sein. wenn ich es messe stimmt es auch. aber ich hatte das mit [mm] "\overrightarrow{AC}" [/mm] noch nicht, daher weiß ich nicht wie man drauf kommt, dass es die hälfte ist.
wir haben nur aufgeschrieben, dass $ [mm] 0,5\vec{a}-0,5\vec{c} [/mm] $ rauskommt. und davon soll ich jetzt wissen, wieso es bewiesen ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Walde |
> ich verstehe immer noch nicht die beziehung von
> [mm]0,5(\vec{a}+\vec{b})-0,5(\vec{b}+\vec{c})[/mm]
> zu
> = [mm]0,5\vec{a}-0,5\vec{c}[/mm]
Ei, das ist doch nur die Klammern ausmultipliziert und zusammengefasst.
Da ist erstmal noch nichts zu sehen.
>
> wie ich auf [mm]0,5(\vec{a}+\vec{b})-0,5(\vec{b}+\vec{c})[/mm]
> komme, hab ich glaub ich verstanden. dann bekomme ich die
> strecke [mm]M_{AB}[/mm] bis [mm]M_{BC}[/mm] heraus, also eine strecke des
> parallelogramms.
>
> jetzt dachte ich, dass ich durch umformen auf die andere
> seite des parallelogramms kommen muss, also [mm]M_{AD}[/mm] bis
> [mm]M_{CD}.[/mm] aber ich komme auf diese komische gleichung
> [mm]0,5\vec{a}-0,5\vec{c} [/mm], mit der ich nichts anfangen kann.
> auch wenn ich es umforme nicht... dann bekomme ich heraus
> [mm]0,5((\vec{a}-\vec{c}).[/mm] dass soll die hälfte von
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] sein. wenn ich es messe stimmt es auch.
> aber ich hatte das mit [mm]"\overrightarrow{AC}"[/mm] noch nicht,
> daher weiß ich nicht wie man drauf kommt, dass es die
> hälfte ist.
>
> wir haben nur aufgeschrieben, dass [mm]0,5\vec{a}-0,5\vec{c}[/mm]
> rauskommt. und davon soll ich jetzt wissen, wieso es
> bewiesen ist...
Ok, jetzt weiss ich, wo das Problem liegt.
Nachdem du jetzt erstmal eine Seite des Parallelogramms durch die gegebenen Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b}, \vec{c},\vec{d} [/mm] ausgedrückt hast,
musst du jetzt analog dazu erst die Punkte [mm] M_{AD} [/mm] und [mm] M_{CD} [/mm] durch die Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{c},\vec{d} [/mm] ausdrücken und dann die Strecke [mm] \overline{M_{CD}M}_{AD} [/mm] als Vektor [mm] \overrightarrow{M_{CD}M}_{AD} [/mm] darstellen. Dann wirst du sehen, dass das gleiche rauskommt, wie oben, was dann heisst das dieses Paar gegenüberliegender Seiten parallel und gleich lang ist.
Dann muss du es noch mit dem andern Paar Seiten durchführen, dann hast du den Beweis.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Mo 28.02.2011 | | Autor: | susi111 |
> > ich verstehe immer noch nicht die beziehung von
> > [mm]0,5(\vec{a}+\vec{b})-0,5(\vec{b}+\vec{c})[/mm]
> > zu
> > = [mm]0,5\vec{a}-0,5\vec{c}[/mm]
>
> Ei, das ist doch nur die Klammern ausmultipliziert und
> zusammengefasst.
das wusste ich sogar^^ ich meinte, ich hab nicht verstanden, was [mm] 0,5\vec{a}-0,5\vec{c} [/mm] ist. ;)
> Da ist erstmal noch nichts zu sehen.
>
> >
> > wie ich auf [mm]0,5(\vec{a}+\vec{b})-0,5(\vec{b}+\vec{c})[/mm]
> > komme, hab ich glaub ich verstanden. dann bekomme ich die
> > strecke [mm]M_{AB}[/mm] bis [mm]M_{BC}[/mm] heraus, also eine strecke des
> > parallelogramms.
> >
> > jetzt dachte ich, dass ich durch umformen auf die andere
> > seite des parallelogramms kommen muss, also [mm]M_{AD}[/mm] bis
> > [mm]M_{CD}.[/mm] aber ich komme auf diese komische gleichung
> > [mm]0,5\vec{a}-0,5\vec{c} [/mm], mit der ich nichts anfangen kann.
> > auch wenn ich es umforme nicht... dann bekomme ich heraus
> > [mm]0,5((\vec{a}-\vec{c}).[/mm] dass soll die hälfte von
> > [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] sein. wenn ich es messe stimmt es auch.
> > aber ich hatte das mit [mm]"\overrightarrow{AC}"[/mm] noch nicht,
> > daher weiß ich nicht wie man drauf kommt, dass es die
> > hälfte ist.
> >
> > wir haben nur aufgeschrieben, dass [mm]0,5\vec{a}-0,5\vec{c}[/mm]
> > rauskommt. und davon soll ich jetzt wissen, wieso es
> > bewiesen ist...
>
> Ok, jetzt weiss ich, wo das Problem liegt.
> Nachdem du jetzt erstmal eine Seite des Parallelogramms
> durch die gegebenen Vektoren [mm]\vec{a},\vec{b}, \vec{c},\vec{d}[/mm]
> ausgedrückt hast,
> musst du jetzt analog dazu erst die Punkte [mm]M_{AD}[/mm] und
> [mm]M_{CD}[/mm] durch die Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{c},\vec{d}[/mm]
> ausdrücken und dann die Strecke [mm]\overline{M_{CD}M}_{AD}[/mm]
> als Vektor [mm]\overrightarrow{M_{CD}M}_{AD}[/mm] darstellen. Dann
> wirst du sehen, dass das gleiche rauskommt, wie oben, was
> dann heisst das dieses Paar gegenüberliegender Seiten
> parallel und gleich lang ist.
>
> Dann muss du es noch mit dem andern Paar Seiten
> durchführen, dann hast du den Beweis.
achsoooo! jetzt hab ichs endlich verstanden :) danke! :)
> LG walde
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