param. Kurven; Integral u Abl. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beispiel:
Wenn ich eine FUNKTION habe, die auf die Zeit t die Geschwindigkeit v abbildet, so ist mir klar, dass das
INTEGRAL über diese Funktion (die Fläche v*t=s) die Strecke ist, die während der Zeitdifferenz zurückgelegt wurde.
Ich vermute, dass die Ableitung der v-Funktion nach der Zeit die Beschleunigung ergibt, da a=v/t mit [mm] \limes_{ \Delta t\rightarrow\ t} \Delta v / \Delta t [/mm] (und das ist die Ableitung!) gerade die Beschleunigung zum Zeitpkt t ist. Stimmt das?
In diesem Bsp. habe ich ja 2 Achsen, v und t.
PROBLEM:
Wie übertrage ich das auf KURVEN im [mm] R^n [/mm] , die in Parameterdarstellung k vorliegen?
Was bedeuten Ableitung und Integral bei Kurven? |
Die eine Achse kann ja wieder als Zeitachse aufgefasst werden -
man nimmt ja gerne als Bsp. f d Kurve ein Masseteilchen, welches im [mm] R^n [/mm] seine SPUR hinterlässt, die durch die param. Kurve k beschrieben werden kann.
k(t) ist dann der Ort des Teilchens zum Zeitpkt t.
Mit Achsen kann ich hier ja nicht mehr im klass. Funktionssinn hantieren, oder?
Daher fehlt mir etwas die Vorstellungskraft für Integral und Ableitung von k, die im Falle einer vorliegenden FUNKTION (s.o.) sehr anschaulich sind.
Angenommen ich hantiere doch in Gedanken mit Achsen:
Die eine ist die Zeitachse, und die andere? Die "Orts-Achse"?
Diese Verrenkung würde ich durchführen, um letztlich plakativ wie im Eingangsbsp. der FUNKTION zu sehen, was das *Integral/die Ableitung da bedeutet.
Vlt. kann mir jmd möglichst ausführlich erläutern, was ich mir *darunter vorzustellen habe. Stehe auf dem Schlauch.
[mm] [/mm]
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Hallo!
Im Prinzip ist es im [mm] \IR^n [/mm] genauso, wie du es für 1D gesagt hast, nur daß es mit der Vorstellung etwas hapert.
Im dreidimensionalen kannst du dir z.B. folgende Kurve vorstellen:
[mm] $\vec{s}(t)=\vektor{2t \\ 3t \\ 4t}$ [/mm] Das liefert dir für bestimmte Zeitpunkte (bleiben wir mal bei Zeit) den Ort in 3D, an dem sich ein Gegenstand befindet. Nach t=1 ist er bei [mm] \vektor{2\\3\\4} [/mm] , nach t=2 bei [mm] \vektor{4\\6\\8} [/mm] und so weiter. Die Geschwindigkeit ist [mm] \vec{v}=\vektor{2\\3\\4}, [/mm] denn die multipliziert mit ner Zeit gibt dir auch an, wo sich der Gegenstand nach dieser Zeit befindet.
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Strecke nach der Zeit, und auch das stimmt: [mm] \vec{v}(t)=\vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] Oder anders: Dieser Vektor zeit dir, in welche Richtung der Gegenstand sich grade bewegt.
Das abgeleitet ist [mm] \vec{a}(t)=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] , also keine Beschleunigung in irgendeiner Richtung
Etwas komplizierter:
[mm] \vec{s}(t)=\vektor{3 \\ 6t \\ 25t-5t^2}
[/mm]
Ableiten: [mm] \vec{v}(t)=\vektor{0 \\ 6 \\ 25-10t}
[/mm]
Nochmal: [mm] \vec{a}(t)=\vektor{0 \\ 0 \\ -10}
[/mm]
Wie kann man das interpretieren?
* Es findet eine permanente Beschleunigung senkrecht nach unten statt, die -10 ähnelt hier nicht zufällig der Gravitationskonstanten
* Es gibt eine konstante Geschwindigkeit in y-Richtung, und die in z-Richtung ändert sich permanent. Für t=0 hat man eine Geschwindigkeit von 25 nach oben.
* Zu guter letzt ist die x-Komponente von s konstant gleich 3.
Es handelt sich hier um einen waagerechten Wurf mit der waagerechten Geschwindigkeit 6 und der vertikalen Anfangsgeschwindigkeit +25. Zu jedem Zeitpunkt liefert dir v die Richtung in 3D, in welche sich der Gegenstand bewegt und a, in welche Richtung sich die Geschwindigkeit ändert.
Du darfst nur nicht versuchen, eine Bewegung in drei Dimensionen auf dem Papier zu zeichnen. Mit zwei Dimensionen klappt das leidlich weil man drei Dimensionen (zwei räumliche plus Zeit) leidlich zeichen kann. Aber du kannst im Zweidimensionalen auch einfach die Koordinaten gegeneinander auftragen, dann siehst du zumindest, wie die Flugbahn aussieht, hast aber keine Zeitachse.
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Hallo, danke f d Antwort.
Meine Abgrenzung galt nicht 1-dim. vs mehr-dim.,
sondern Ableitung/Integral einer Funktion vs. Ableitung/Integral einer parametrisierten Kurve.
Hast Du das berücksichtigt?
Es ist ja ein Unterschied, ob ich einen Speer werfe und und seine Flugkurve in ein Achsensystem lege (->ergibt Funktion) und andererseits ein Teilchen betrachte, welches die eigene Spur kreuzt (->ergibt sicher keine Funktion, sondern z B eine param. Kurve).
Bleibt bei dieser Gegenüberstellung die z B physikalische Interpretation der Ableitung und des Integrals gleich?
So recht kann ich mein Problem gar nicht formulieren...
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Hallo,
wenn wir eine beliebige (parametrisch beschriebene) Bewegung
[mm] \vec{s}(t) [/mm] in einem Raum [mm] \IR^n [/mm] betrachten (mit n=1, 2, 3 oder auch größer),
so werden die dazugehörige Geschwindigkeitsfunktion [mm] \vec{v}(t)
[/mm]
und die Beschleunigungsfunktion [mm] \vec{a}(t) [/mm] als erste und zweite
Ableitungsfunktion von [mm] \vec{s}(t) [/mm] erhalten. Diese Ableitungen
erfolgen komponentenweise, also für jede einzelne Komponenten-
Funktion separat. Insofern ist das alles ganz einfach, und auch
die Berechnung von [mm] \vec{s}(t) [/mm] aus [mm] \vec{a}(t) [/mm] erfolgt durch zweimalige
Integration in jeder Komponente, wobei man natürlich Integra-
tionskonstanten einführen muss.
LG , Al-Chwarizmi
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Erneut wurde meine Frage zu parametrisierten Kurven in das Forum
Analysis > reell > mehrere Veränderliche
verschoben.
Ich war der Auffassung, dass es sich bei einer Kurve in Parameterdarstellung um ein eindimensionales Gebilde handelt, da es nur von einem veränderlichen Parameter abhängt. Ist das falsch?
Edit: Der gegebene Fall sei so, dass nur 1 Parameter ("Zeit") beteiligt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Do 17.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
in das Forum Analysis-Eindimensional gehören im Wesentlichen Fragen aus dem Bereich, der an den Hochschulen unter dem Oberbegriff Analysis 1 zusammengefasst ist. Hier geht es ja um vektorwertige Funktionen, von daher ist das schon richtig bei der mehrdimensionalen Analysis. Ich habe es übrigens dort hin verschoben.
Gruß, Diophant
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ok, klingt plausibel. (Wenngleich mein Kurs nicht Ana1 oder Ana2 heißt, sondern einfach nur "Analysis" und dabei Inhalte von Ana1 und 2 abdeckt.)
Aber die Kurve mit 1 Parameter ist schon 1-dim., oder?
Kann man sagen, dass die eindimensionale Kurve (->skalarwertig?) aus vektorwertigen Elementen (naeml. jenen aus [mm] R^n) [/mm] besteht?
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Ist "Ana1" nicht eine ziemlich ungeschickte Abkürzung
für eine Vorlesung in Mathematik ?
Man verwechselt die "1" doch allzuleicht mit einem "l"
und muss dann solche schrägen Assoziationen aus
Anatomie, Psychologie (Freudsche Phasen) und
Verkehrswissenschaft abwehren ! ....... 
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Für die, bei denen Freud und Leid nah beieinander liegen, wenn der Pawlow'sche Hund sein Häufchen in die Leet-Fraktion setzt :
Ana*ysis, *nalysis, A*alysis, An*lysis.
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Mit "Leet" ("1337") hatte meine Bemerkung wirklich nichts
zu tun. Sie bezog sich nur darauf, dass gewisse Computer-
Fonts ungute Verwechslungen direkt provozieren.
Genau betrachtet, gehen solche Fonts zum Teil auf die
Fonts alter Schreibmaschinen zurück, bei welchen aus
Ersparnisgründen nur für die Ziffern 2 bis 9 eigene Tasten
vorhanden waren. Für die 1 und die 0 benützte man die
Buchstabentasten "l" (Kleinbuchstabe) ond "o" (klein) oder
"O" (groß).
Die erste Schreibmaschine, auf der ich vor Jahrzehnten
zu schreiben begann, war von dieser Sorte. Zwar nicht ganz
so alt wie diese: ![[]](/images/popup.gif) Adler-Schreibmaschine
(aber ich bin beim Tastaturschreiben bis heute auch nicht
wesentlich über das "System Adler" hinaus gekommen ... )
N.B.: Was der Pawlowsche Hund hier zu suchen hat, ist mir
auch nicht so recht klar.
LG , Al-Chw.
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Mist, da hab ich was verwechselt:
Ich dachte, besagte Canide hatte ein Ana*-Percing mit Glöckchen:
Jedes Mal, wenn der tierische Darm nach Druckausgleich verlangte, lief es dem Köter die Lefzen hinab, während es unten/hinten klingelte.
Da es vor meiner Zeit war:
So stelle ich mir etwa die Arbeit an einer Schreibmaschine vor (rein vom Sound her).
Aber jedenfalls hatten wir beide die Assoziation mit der Schreibmaschine! :)
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