parameterabhängige Integrale < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Sa 12.06.2004 | | Autor: | rossi |
Morgen....
also seit 16 Stunden schon nichts mehr gepostet ;)
Das muss sich ändern!
Also wir haben die folgenden Aufgaben schon versucht und sind einfach auf keine Lösungbei der a gekommen .. bei der b sind wir uns nicht sicher!
Deswegen würd ich gern mal um Hilfe bitten :
Bestimme die folgenden Integrale durch Differenzieren eines geeigneten parameterabhängigen Integrals.
a) [mm] \int_{0}^{x} t^{n} [/mm] cos [mm] t\dt [/mm] (x [mm] \in [/mm] IR, [mm] n\in [/mm] IN)
b) [mm] \int_{0}^{\pi} [/mm] x(cos x - [mm] sin^{2}x) [/mm] exp (cos x)\ dx
also wär super, wenn mir da wer helfen könnte!!!
Gruß
Rossi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 So 13.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Rossi,
> Bestimme die folgenden Integrale durch Differenzieren eines
> geeigneten parameterabhängigen Integrals.
das sieht doch nach einer Aufforderung zum "Ausprobieren" aus, dass man also Stammfunktionen bestätigen soll, indem man sie differenziert.
Allerdings verstehe ich nicht ganz "... eines geeigneten parameterabhängigen Integrals", deswegen werde ich nicht von großer Hilfe für dich sein.
> a) [mm] \int_{0}^{x} t^{n} [/mm] cos [mm] t\dt [/mm] (x [mm] \in [/mm] IR, [mm] n\in [/mm] IN)
Das sieht doch so aus, als könnte es durch n-fache Anwendung der partiellen Integrationsregel gelöst werden.
> b) [mm] \int_{0}^{\pi} [/mm] x(cos x - [mm] sin^{2}x) [/mm] exp (cos x)\ dx
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Hoffentlich hat ein anderer Forumbesucher mehr Ahnung...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 So 13.06.2004 | | Autor: | rossi |
Morgen ....
also wenn jemand ne gute Idee hat, dann kann er sie natürlich weiterhin schreiben - hab noch ein wenig Zeit mit dem Lösen!!!
"... eines geeigneten parameterabhängigen Integrals" versteh man wohl so, dass man einen zweiten Paramter y einführt und dann eben, wenn man diese Funktion ableitet nur wieder die ursprüngliche übrig hat (wenn man man y=1 setzt)
Gruß
Rossi
> Hallo Rossi,
>
> > Bestimme die folgenden Integrale durch Differenzieren
> eines
> > geeigneten parameterabhängigen Integrals.
>
> das sieht doch nach einer Aufforderung zum "Ausprobieren"
> aus, dass man also Stammfunktionen bestätigen soll, indem
> man sie differenziert.
> Allerdings verstehe ich nicht ganz "... eines geeigneten
> parameterabhängigen Integrals", deswegen werde ich nicht
> von großer Hilfe für dich sein.
>
> > a) [mm] \int_{0}^{x} t^{n} [/mm] cos [mm] t\dt [/mm] (x [mm] \in [/mm] IR, [mm] n\in [/mm] IN)
>
> Das sieht doch so aus, als könnte es durch n-fache
> Anwendung der partiellen Integrationsregel gelöst werden.
>
> > b) [mm] \int_{0}^{\pi} [/mm] x(cos x - [mm] sin^{2}x) [/mm] exp (cos x)\ dx
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> Hoffentlich hat ein anderer Forumbesucher mehr Ahnung...
>
> Viele Grüße,
> Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo rossi!
Kannst du mir mal ein Beispiel aus der Vorlesung nennen, wo ihr so etwas gemacht habt?
Ich kann es mir zwar einigermaßen vorstellen, aber anhand eines Beispiels käme mir vielleicht eher eine zündende Idee, wie man hier anzusetzen hat...
Vielen Dank!
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Mo 14.06.2004 | | Autor: | rossi |
Sers
ja klar kann ich machen!
Also wir haben das Integral
[mm] $\int_{0}^{a} [/mm] x exp(x) [mm] \, [/mm] dx$
lösen wollen!
Dann haben wir uns eine von y abhgängige Funktion gebastelt:
$F(y) = [mm] \int_{0}^{a} [/mm] exp(x * y) [mm] \, [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{y} [/mm] (exp(a*y)-1)$
$F'(y)= [mm] \int_{0}^{a} [/mm] x * exp(x * y) [mm] \, [/mm] dx = [mm] -\bruch{1}{y^2} [/mm] (exp(a*y)-1) + bruch{a}{y} exp(a*y)$
--> [mm] $\int_{0}^{a} [/mm] x exp(x) [mm] \, [/mm] dx = F'(1) = 1 + (a-1) * exp(a)$
....hilft dir das weiter?!
gruß
Rossi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Di 15.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich wollte die Aufgabe zwar lösen, muss jetzt aber dringend (natürlich!) Fußball gucken und daher hier weg.
Ich hoffe du kannst dich noch bis morgen begnügen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Di 15.06.2004 | | Autor: | rossi |
geht doch klar... ich schau etz auch!
Gruß
Rossi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Rossi!
> a) [mm]\int_{0}^{x} t^{n}[/mm] cos [mm]t\dt[/mm] (x [mm]\in[/mm] IR, [mm]n\in[/mm] IN)
Hier musst du für gerades $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Funktion
$F(x,y) = [mm] \int_0^x \cos(ty)\, [/mm] dt = [mm] \frac{1}{y} \sin(tx)$
[/mm]
$n$-mal nach $y$ ableiten und dann $y=1$ einsetzen (auf die Vorzeichen achten!)
und für ungerades $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Funktion
$G(x,y) = [mm] \int_0^x \sin(ty)\, [/mm] dt = [mm] \frac{1}{y} [/mm] (1- [mm] \cos(tx))$
[/mm]
$n$-mal nach $y$ ableiten und dann $y=1$ einsetzen (auf die Vorzeichen achten).
> b) [mm]\int_{0}^{\pi}[/mm] x(cos x - [mm]sin^{2}x)[/mm] exp (cos x)\ dx
Die Aufgabe ist noch einfacher: Du betrachtest die Funktion
$F(x,y) = [mm] \int_0^{\pi} \sin(xy)\, e^{\cos(xy)}\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{y} (e^{\cos(\pi y)} [/mm] - e)$,
leitest sie nach $y$ ab und setzt dann $y=1$ ein.
Versuche das bitte mal selber zu Ende zu führen und melde dich mit deinen Ergebnissen zur Kontrolle.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:08 Do 17.06.2004 | | Autor: | rossi |
Morgen Julius
also die leichtere der beiden hab ich gestern dann auch mal noch durchgerechnet - wobei dir wohl ein Vorzeichenfehler unterlaufen ist, denn
[mm]F(x,y) = \int_0^{\pi} \sin(xy)\, e^{\cos(xy)}\, dx = - \frac{1}{y} (e^{\cos(\pi y)} - e)[/mm],
Am Ende kommt dann [mm] e^{-1} [/mm] - e raus - DANKE!!!
Gruß
Rossi
> > b) [mm]\int_{0}^{\pi}[/mm] x(cos x - [mm]sin^{2}x)[/mm] exp (cos x)\ dx
>
> Die Aufgabe ist noch einfacher: Du betrachtest die
> Funktion
>
> [mm]F(x,y) = \int_0^{\pi} \sin(xy)\, e^{\cos(xy)}\, dx = \frac{1}{y} (e^{\cos(\pi y)} - e)[/mm],
>
>
> leitest sie nach [mm]y[/mm] ab und setzt dann [mm]y=1[/mm] ein.
>
> Versuche das bitte mal selber zu Ende zu führen und melde
> dich mit deinen Ergebnissen zur Kontrolle.
>
> Liebe Grüße
> Julius
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