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| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{f(\bruch{x^2-8x+5}{(x-1)((x-1)^2+1)}) dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! ich sitz jetzt seit stunden an dieser aufgabe und komm nicht weiter. ich hab es mit partialbruchzerlegung probiert, aber dann komm ich an komplexe zahlen als nullstellen und weiß nicht, wie ich damit rechnen soll.
danke schonmal für eure hilfe!
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Hallo zitroenchen,
es ist [mm] $\bruch{x^2-8x+5}{(x-1)((x-1)^2+1)}=\bruch{x^2-8x+5}{(x-1)(x^2-2x+2)}$
[/mm]
Richtig erkannt hast du, dass [mm] $x^2-2x+2$ [/mm] nur komplexe NSTen hat.
Das Nennerpolynom hat also 1 reelle und 2 komplexe NSTen
Mache daher für dir PBZ den Ansatz: [mm] $\bruch{x^2-8x+5}{(x-1)(x^2-2x+2)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{x^2-2x+2}$ [/mm]
Gruß
schachuzipus
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danke für die schnelle antwort!
ich hab das jetzt aufgelöst in:
[mm] x^2-8x+5 [/mm] = [mm] A(x^2-2x+2) [/mm] + (Bx+C)(x-1)
dann x=1 gesetzt und darum A=-2
dann x=0 gesetzt und darum C=9 und B=12
d.h. ich erhalte:
[mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{-2}{x-1}dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{12x+9}{x^2-2x+2} dx}
[/mm]
aus dem ersten integral komme ich dann zu:
-2 ln(x-1)
ist das bis hierhin richtig? und kannst du mir zu dem zweiten integral einen tipp geben? das ist ja jetzt immer noch ein bruch und ich weiß nicht, wie ich da weiterkommen kann
danke!
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Hallo nochmal,
> danke für die schnelle antwort!
> ich hab das jetzt aufgelöst in:
> [mm]x^2-8x+5[/mm] = [mm]A(x^2-2x+2)[/mm] + (Bx+C)(x-1)
> dann x=1 gesetzt und darum A=-2
> dann x=0 gesetzt und darum C=9 und B=12
Das kommt nicht hin, setzt mal ein und bringe alles wieder auf den Hauptnenner, dann kommt im Zähler nicht wieder [mm] $x^2-8x+5$ [/mm] raus
Hmm, ich habe das durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvgl. gemacht und komme auf $A=-2, B=3, C=-9$
Das passt auch, wenn ich's einsetze und wieder erweitere
> d.h. ich erhalte:
> [mm]\integral_{a}^{b}{ \bruch{-2}{x-1}dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{12x+9}{x^2-2x+2} dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> aus dem ersten integral komme ich dann zu:
> -2 ln(x-1) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das erste Integral passt, ich hab ja auch A=-2 raus 
Bei mir ist das andere Integral dann $\int{\frac{3x-9}{x^2-2x+2} \ dx}$
Das ist ja von der Struktur deinem sehr ähnlich, darum mal nen Ansatz zum Lösen:
Erstmal etwas umschreiben:
$=... 3\cdot{}\int{\frac{x-3}{x^2-2x+2} \ dx}=3\cdot{}\blue{\frac{1}{2}}\int{\frac{\blue{2}(x-3)}{x^2-2x+2} \ dx}=\frac{3}{2}\int{\frac{2x-6}{x^2-2x+2} \ dx}$
$=\frac{3}{2}\int{\frac{2x-2-4}{x^2-2x+2} \ dx}=\frac{3}{2}\cdot{}\left[\int{\frac{2x-2}{x^2-2x+2} \ dx}+\int{\frac{-4}{x^2-2x+2} \ dx\right]$
Das erstere der beiden ist ein logarithmisches Integral, also eines der Bauart $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
Das hat als Stammfunktion $\ln|f(x)|+C$
(Falls dir das gänzlich unbekannt ist, substituiere $u:=x^2-2x+2$ und rechne es nach )
Das hintere schreiben wir noch etwas weiter um: (ich lasse den Rest drumrum weg)
$\frac{3}{2}\int{\frac{-4}{x^2-2x+2} \ dx}=-6\int{\frac{1}{x^2-2x+2} \ dx}=-6\int{\frac{1}{\left(x-1\right)^2+1} \ dx}$
(quadratische Ergänzung im Nenner)
Nun denke an den $\arctan$ und seine Ableitung.
Fällt dir mit dem Tipp dann dazu ne geeignete Substitution ein?
Hoffe, das bringt dich weiter und war nicht zu sehr klein-klein oder gar zuviel verraten
>
> ist das bis hierhin richtig? und kannst du mir zu dem
> zweiten integral einen tipp geben? das ist ja jetzt immer
> noch ein bruch und ich weiß nicht, wie ich da weiterkommen
> kann
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> danke!
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Lieben Gruß
schachuzipus
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