partialbruchzerlegung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Fr 23.01.2009 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | partialbruchzerlegung von
[mm] \bruch{1}{z^{3}-z^{2}-z+1} [/mm] |
hab erstmal [mm] z^{3}-z^{2}-z+1 [/mm] = [mm] (z-1)^2(z+1)
[/mm]
Nullstellen sind also 1,1,-1
dann 1= a(z-1)(z+1) + b(z+1) + [mm] c(z-1)^2
[/mm]
beim Koeffizientenvergleich bekomme ich für C=1/4 für B=1/2
Frage Wie bekomme ich a raus? setze ich die Nullstellen ein "verschwindet mein a ja immer. Oder ist a hier beliebig?
LG, und danke im voraus
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Hallo SpoOny,
> partialbruchzerlegung von
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> [mm]\bruch{1}{z^{3}-z^{2}-z+1}[/mm]
> hab erstmal [mm]z^{3}-z^{2}-z+1[/mm] = [mm](z-1)^2(z+1)[/mm]
>
> Nullstellen sind also 1,1,-1
>
>
> dann 1= a(z-1)(z+1) + b(z+1) + [mm]c(z-1)^2[/mm]
>
> beim Koeffizientenvergleich bekomme ich für C=1/4 für
> B=1/2
Doch wohl eher durch einsetzen der Werte z=1 bzw. z=-1.
>
> Frage Wie bekomme ich a raus? setze ich die Nullstellen
> ein "verschwindet mein a ja immer. Oder ist a hier
> beliebig?
Das hat a hat eine konstanten Wert.
Dieses bekommst Du heraus wenn Du die Gleichung
[mm]1= a\left(z-1\right)\left(z+1\right) + b\left(z+1\right) + c\left(z-1\right)^2[/mm]
ausmultiplizierst und die Koeffizienten vergleichst.
>
>
> LG, und danke im voraus
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Fr 23.01.2009 | | Autor: | SpoOny |
hey, danke
> > Nullstellen sind also 1,1,-1
> >
> >
> > dann 1= a(z-1)(z+1) + b(z+1) + [mm]c(z-1)^2[/mm]
> >
> > beim Koeffizientenvergleich bekomme ich für C=1/4 für
> > B=1/2
>
>
> Doch wohl eher durch einsetzen der Werte z=1 bzw. z=-1.
ja richtig, hab in meinen alten aufzeichnungen koeffizientenvergleich gelesen und das Einsetzen dummerweise so genannt.
> Das hat a hat eine konstanten Wert.
> Dieses bekommst Du heraus wenn Du die Gleichung
> [mm]1= a\left(z-1\right)\left(z+1\right) + b\left(z+1\right) + c\left(z-1\right)^2[/mm]
> ausmultiplizierst und die Koeffizienten vergleichst.
Jetzt kommt dann wohl der Vergleich, der mir total fremd erscheint. Da es ja aber in meinen Aufzeichnungen steht muss ich das mal gehört haben.
ausmultipliziert
hab ich [mm] 1=az^2-a [/mm] + [mm] bz+b+cz^2-2cz+1
[/mm]
ich denke mal da ich b und c kenne kann ich die werte auch einsetzen.
also:
1= [mm] az^2-a+ \bruch{1}{2}z +\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}z^2 -\bruch{1}{2}z+1=az^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}z^2 +\bruch{3}{2}-a= \bruch{4a+1}{4}z^2 +\bruch{3}{2}-a [/mm]
Mit welchem Polynom vergleiche ich das? Mit dem Nennerpolynom aus der Aufgabe und wie stell ich das an?
beim Nennerpolynom hab ich [mm] -1z^2 [/mm] hier [mm] \bruch{4a+1}{4}z^2
[/mm]
und 1 hier [mm] \bruch{3}{2}-a [/mm]
das einfach ausrechnen? Ist sicher falsch da ich zwei verschiedene a rausbekomme.
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Hallo SpoOny,
> hey, danke
>
> > > Nullstellen sind also 1,1,-1
> > >
> > >
> > > dann 1= a(z-1)(z+1) + b(z+1) + [mm]c(z-1)^2[/mm]
> > >
> > > beim Koeffizientenvergleich bekomme ich für C=1/4 für
> > > B=1/2
> >
> >
> > Doch wohl eher durch einsetzen der Werte z=1 bzw. z=-1.
>
>
> ja richtig, hab in meinen alten aufzeichnungen
> koeffizientenvergleich gelesen und das Einsetzen
> dummerweise so genannt.
>
>
> > Das hat a hat eine konstanten Wert.
>
> > Dieses bekommst Du heraus wenn Du die Gleichung
>
> > [mm]1= a\left(z-1\right)\left(z+1\right) + b\left(z+1\right) + c\left(z-1\right)^2[/mm]
>
>
> > ausmultiplizierst und die Koeffizienten vergleichst.
>
>
> Jetzt kommt dann wohl der Vergleich, der mir total fremd
> erscheint. Da es ja aber in meinen Aufzeichnungen steht
> muss ich das mal gehört haben.
>
> ausmultipliziert
>
>
> hab ich [mm]1=az^2-a[/mm] + [mm]bz+b+cz^2-2cz+1[/mm]
Es muss heißen:
[mm]1=az^2-a[/mm] + [mm]bz+b+cz^2-2cz+\red{c}[/mm]
>
> ich denke mal da ich b und c kenne kann ich die werte auch
> einsetzen.
> also:
>
> 1= [mm]az^2-a+ \bruch{1}{2}z +\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}z^2 -\bruch{1}{2}z+1=az^2[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{4}z^2 +\bruch{3}{2}-a= \bruch{4a+1}{4}z^2 +\bruch{3}{2}-a[/mm]
>
> Mit welchem Polynom vergleiche ich das? Mit dem
> Nennerpolynom aus der Aufgabe und wie stell ich das an?
Mit dem Polynom auf der linken Seite:
[mm]1=0*z^{2}+0*z+1=az^2-a + bz+b+cz^2-2cz+c[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm]a+c=0[/mm]
[mm]b-2c=0[/mm]
[mm]-a+b+c=1[/mm]
>
> beim Nennerpolynom hab ich [mm]-1z^2[/mm] hier
> [mm]\bruch{4a+1}{4}z^2[/mm]
> und 1 hier
> [mm]\bruch{3}{2}-a[/mm]
>
> das einfach ausrechnen? Ist sicher falsch da ich zwei
> verschiedene a rausbekomme.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Fr 23.01.2009 | | Autor: | SpoOny |
okay danke schön.
aber wieso mach ich den vergleich gerade
> Mit dem Polynom auf der linken Seite:
>
> [mm]1=0*z^{2}+0*z+1=az^2-a + bz+b+cz^2-2cz+c[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dann:
>
> [mm]a+c=0[/mm]
>
> [mm]b-2c=0[/mm]
>
> [mm]-a+b+c=1[/mm]
und wie komm ich auf dieses Polynom (also eher die Koeffizienten des Polynoms)?
womit mach ich denn den Vergleich i.A.? Das heißt auch bei einer partialbruchzerlegung setz ich entweder die nullstellen ein oder mach den Vergleich. Beides ist ja dann gar nicht notwendig...
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Hallo SpoOny,
> okay danke schön.
>
> aber wieso mach ich den vergleich gerade
>
> > Mit dem Polynom auf der linken Seite:
> >
> > [mm]1=0*z^{2}+0*z+1=az^2-a + bz+b+cz^2-2cz+c[/mm]
> >
> > Daraus ergibt sich dann:
> >
> > [mm]a+c=0[/mm]
> >
> > [mm]b-2c=0[/mm]
> >
> > [mm]-a+b+c=1[/mm]
> und wie komm ich auf dieses Polynom (also eher die
> Koeffizienten des Polynoms)?
Bei dem Polynom [mm]p\left(z\right)=1[/mm] ist
weder ein [mm]z^{2}[/mm] noch ein [mm]z^{1}[/mm] vorhanden.
Demnach kann das Polynom auch so geschrieben werden:
[mm]p\left(z\right)=1=0*z^{2}+0*z+1[/mm]
> womit mach ich denn den Vergleich i.A.? Das heißt auch bei
Mit dem Polynom, welches im Zähler des Bruches steht.
> einer partialbruchzerlegung setz ich entweder die
> nullstellen ein oder mach den Vergleich. Beides ist ja dann
> gar nicht notwendig...
Notwendig wird das, wenn Du eine quadratisches Polynom hast,
welches kein reellen Nullstellen besitzt.
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Sa 24.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo SpoOny,
ich habe den Eindruck, dass Du nicht wirklich weißt, wovon MathePower redet.
Was ist denn Dein Ansatz für die Partialbruchzerlegung? Stell den doch mal ein, bitte. Vielleicht kommen wir von da aus weiter.
Zum Koeffizientenvergleich: auf jeder Seite der Gleichung muss jede Potenz von z den gleichen Koeffizienten haben.
lg,
reverend
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