partiell Differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x,y)=y^2+y^2.
[/mm]
Zeigen oder wiederlegen Sie dass die Funktion für (x,y)=(1,2) partiell differenzierbar ist. |
Hallo,
also ich weiß wie ich es zeigen kann, aber ich hab in unsere Skript folgende Definition gesehen:
Gilt:
[mm] $\limes_{h\rightarrow0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h}=0 [/mm] , h [mm] \in \mathbb{R}$
[/mm]
so heißt $f$ an der Stelle x in Richtung des i-ten Basisvektors partiell differenzierbar.
Ok ich weiß jetzt nicht so recht wie ich da anfangen soll...
Ich will erstmal untersuchen ob $f$ in Richtung des Basisvektors [mm] $e_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] partiell differenzierbar ist.
Dafür muss ich ja eigentlich nur einsetzen, also so:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\frac{f(x+he_1,y+he_1)-f(x,y)}{h} [/mm] =
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\frac{\left(x+he_1\right)^2,\left(y+he_1\right)^2-(x^2+y^2)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\frac{(x+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2,(y+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2-(x^2+y^2)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\frac{(1+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2,(2+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2-(1^2+2^2)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\frac{(1+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2,(2+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2-5}{h}
[/mm]
So und was nun? :) Ich weiß nicht ob ich bis dahin schon was falsch gemacht habe, kann aber gut möglich sein. Und ja ich will es mit dieser Definition versuchen, dass es einfach geht weiß ich auch ;)
Aber ich komm da nicht weiter, denn ich kann ja $h$ so nicht gegen 0 laufen lassen und wenn ich im Zähler das $h$ mit dem Basisvektor multipliziere hab ich ja sowas: [mm] \vektor{h \\ 0 \\ 0} [/mm] und dann?
Vlt hab ich da auch nur ein ganz dummen Denkfehler.
Ich bedank mich jetzt schon mal für euer bemühen :)
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Hallo HappyHaribo,
Du rechnest da mit Äpfeln und Birnen durcheinander.
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x,y)=y^2+y^2.[/mm]
Tippfehler, oder? Unten verwendest Du [mm] f(x,y)=\blue{x^2}+y^2.
[/mm]
> Zeigen oder wiederlegen Sie dass die Funktion für
> (x,y)=(1,2) partiell differenzierbar ist.
Widerlegen - vorne nur ein i, kein ie.
> Hallo,
>
> also ich weiß wie ich es zeigen kann, aber ich hab in
> unsere Skript folgende Definition gesehen:
> Gilt:
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h}=0 , h \in \mathbb{R}[/mm]
>
> so heißt [mm]f[/mm] an der Stelle x in Richtung des i-ten
> Basisvektors partiell differenzierbar.
Da fehlen ein paar Vektorpfeile:
Gilt:
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(\vec{x}+h\vec{e}_i)-f(\vec{x})}{h}=0 , h\in \mathbb{R}[/mm]
so heißt [mm]f[/mm] an der Stelle [mm] \vec{x} [/mm] in Richtung des i-ten
Basisvektors partiell differenzierbar.
> Ok ich weiß jetzt nicht so recht wie ich da anfangen
> soll...
> Ich will erstmal untersuchen ob [mm]f[/mm] in Richtung des
> Basisvektors [mm]e_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] partiell
> differenzierbar ist.
Also in x-Richtung.
> Dafür muss ich ja eigentlich nur einsetzen, also so:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+he_1,y+he_1)-f(x,y)}{h}[/mm] =
Hier rächen sich die Vektorpfeile. Untersuchen musst Du:
[mm] \limes_{h\to 0}\br{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
[/mm]
Das ist die Übersetzung Deiner Definition oben. h wird nur in Richtung der untersuchten Komponente hinzugefügt.
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{\left(x+he_1\right)^2,\left(y+he_1\right)^2-(x^2+y^2)}{h}=[/mm]
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{(x+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2,(y+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2-(x^2+y^2)}{h}=[/mm]
Hier addierst Du Zahlen (Skalare) und Vektoren. Das kann nicht klappen.
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{(1+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2,(2+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2-(1^2+2^2)}{h}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{(1+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2,(2+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2-5}{h}[/mm]
Mal abgesehen von einer sonst fehlerhaften Notation. Was macht das Komma noch hier?
> So und was nun? :) Ich weiß nicht ob ich bis dahin schon
> was falsch gemacht habe, kann aber gut möglich sein. Und
> ja ich will es mit dieser Definition versuchen, dass es
> einfach geht weiß ich auch ;)
> Aber ich komm da nicht weiter, denn ich kann ja [mm]h[/mm] so nicht
> gegen 0 laufen lassen und wenn ich im Zähler das [mm]h[/mm] mit dem
> Basisvektor multipliziere hab ich ja sowas: [mm]\vektor{h \\ 0 \\ 0}[/mm]
> und dann?
Eben nix mehr. Der richtige Ansatz steht aber schon oben.
> Vlt hab ich da auch nur ein ganz dummen Denkfehler.
> Ich bedank mich jetzt schon mal für euer bemühen :)
Grüße
reverend
PS: Es genügt für die Aufgabe, wenn Du das alles nur für die angegebene Stelle (1,2) tust, auch wenn diese Funktion überall unendlich oft differenzierbar ist.
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Ok danke erst mal und in unserem Skript sind auch keine Vektorpfeile...
> Hallo HappyHaribo,
>
> Du rechnest da mit Äpfeln und Birnen durcheinander.
>
> > Gegeben sei die Funktion [mm]f(x,y)=y^2+y^2.[/mm]
>
> Tippfehler, oder? Unten verwendest Du
> [mm]f(x,y)=\blue{x^2}+y^2.[/mm]
>
> > Zeigen oder wiederlegen Sie dass die Funktion für
> > (x,y)=(1,2) partiell differenzierbar ist.
>
> Widerlegen - vorne nur ein i, kein ie.
>
> > Hallo,
> >
> > also ich weiß wie ich es zeigen kann, aber ich hab in
> > unsere Skript folgende Definition gesehen:
> > Gilt:
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h}=0 , h \in \mathbb{R}[/mm]
>
> >
> > so heißt [mm]f[/mm] an der Stelle x in Richtung des i-ten
> > Basisvektors partiell differenzierbar.
>
> Da fehlen ein paar Vektorpfeile:
>
> Gilt:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(\vec{x}+h\vec{e}_i)-f(\vec{x})}{h}=0 , h\in \mathbb{R}[/mm]
>
>
> so heißt [mm]f[/mm] an der Stelle [mm]\vec{x}[/mm] in Richtung des i-ten
> Basisvektors partiell differenzierbar.
>
> > Ok ich weiß jetzt nicht so recht wie ich da anfangen
> > soll...
> > Ich will erstmal untersuchen ob [mm]f[/mm] in Richtung des
> > Basisvektors [mm]e_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] partiell
> > differenzierbar ist.
>
> Also in x-Richtung.
>
> > Dafür muss ich ja eigentlich nur einsetzen, also so:
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+he_1,y+he_1)-f(x,y)}{h}[/mm]
> =
>
> Hier rächen sich die Vektorpfeile. Untersuchen musst Du:
>
> [mm]\limes_{h\to 0}\br{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}[/mm]
>
> Das ist die Übersetzung Deiner Definition oben. h wird nur
> in Richtung der untersuchten Komponente hinzugefügt.
>
Was ist hier mit dem Basisvektor [mm] \overrightarrow{e_1} [/mm] passiert? Ich hab ja [mm] $h*\overrightarrow{e_1}$, [/mm] das fällt bei dir ja weg.
> >
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{\left(x+he_1\right)^2,\left(y+he_1\right)^2-(x^2+y^2)}{h}=[/mm]
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{(x+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2,(y+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2-(x^2+y^2)}{h}=[/mm]
>
> Hier addierst Du Zahlen (Skalare) und Vektoren. Das kann
> nicht klappen.
>
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{(1+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2,(2+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2-(1^2+2^2)}{h}=[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}\frac{(1+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2,(2+h*\vektor{1 \\ 0 \\ 0})^2-5}{h}[/mm]
>
> Mal abgesehen von einer sonst fehlerhaften Notation. Was
> macht das Komma noch hier?
>
> > So und was nun? :) Ich weiß nicht ob ich bis dahin schon
> > was falsch gemacht habe, kann aber gut möglich sein. Und
> > ja ich will es mit dieser Definition versuchen, dass es
> > einfach geht weiß ich auch ;)
> > Aber ich komm da nicht weiter, denn ich kann ja [mm]h[/mm] so
> nicht
> > gegen 0 laufen lassen und wenn ich im Zähler das [mm]h[/mm] mit dem
> > Basisvektor multipliziere hab ich ja sowas: [mm]\vektor{h \\ 0 \\ 0}[/mm]
> > und dann?
>
> Eben nix mehr. Der richtige Ansatz steht aber schon oben.
>
> > Vlt hab ich da auch nur ein ganz dummen Denkfehler.
> > Ich bedank mich jetzt schon mal für euer bemühen :)
>
> Grüße
> reverend
>
> PS: Es genügt für die Aufgabe, wenn Du das alles nur für
> die angegebene Stelle (1,2) tust, auch wenn diese Funktion
> überall unendlich oft differenzierbar ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Do 03.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Was ist hier mit dem Basisvektor passiert? Ich hab ja... , das fällt bei dir ja weg.
erstmal. ob man den Vektor x mit oder ohne Pfeil schreibt ist egal, Hauptsache man weiss, dass es ein Vektor ist also bei dir [mm] X=\vektor{x \\ y}, e_1=\vektor{1 \\ 0} [/mm] leider kommt jetzt x 2 mal vor, als Komponente und als Vektor, deshalb nenn ich den Vektor X
[mm] X*he_1 [/mm] ist ein Skalarprodukt und ergibt h*x, x hier die Komponente.
nebenbei du bist im [mm] \IR^2, [/mm] wieso dann Vektoren mit 3 Komponenten?
auf jedenfall muss dir klar sein dass du nicht zu einem Skalar x einen Vektor [mm] h*e_1 [/mm] addieren kannst, warum bist du darauf nicht eingegangen?
lies bitte posts genauer, wenn dus nicht verstehst frag nach, aber nachdem du gründlich gelesen hast.
Gruß leduart
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