partiell differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi, ich habe mit folgender aufgabe schwierigkeiten:
Sei [mm] \gamma :]0,\infty[\to\IR [/mm] eine beliebig differenzierbare Funktion. Mit [mm] r:\IR^{n}\to [0,\infty[ [/mm] sei der euklidische Betrag von x definiert (d.h. [mm] r(x)=\parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}). [/mm] Zeige dass die Funktion die über x [mm] \to \gamma(r(x)) [/mm] definiert ist, partiell in U:= [mm] IR^{n} [/mm] \ {0} differenzierbar ist.
Ich habe leider keine Idee wie ich die Aufgabe lösen soll.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Schmetterling99,
Zeige:
An jeder Stelle [mm] $x\in\IR^n$, $x\ne [/mm] 0$ existieren die partiellen Ableitungen [mm] $\frac \partial {\partial x_k}\|x\|$.
[/mm]
Beachte hierzu, daß die Funktion [mm] $t\mapsto\sqrt [/mm] t$ auf [mm] $(0;\infty)$ [/mm] differenzierbar ist.
Hilft Dir das?
Gruß,
Wolfgang
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Hallo, danke erstmal.
>
> Zeige:
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> An jeder Stelle [mm]x\in\IR^n[/mm], [mm]x\ne 0[/mm] existieren die partiellen
> Ableitungen [mm]\frac \partial {\partial x_k}\|x\|[/mm].
Kann ich hier einfach schreiben: Sei [mm] x={x_{1},...,x_{n}} [/mm] und k [mm] \in [/mm] {1,...n}
dann ist [mm] \frac \partial {\partial x_k}\|x\|=f'_{k}(x_{k})
[/mm]
Ich bin mir ziemlich unsicher.
>
> Beachte hierzu, daß die Funktion [mm]t\mapsto\sqrt t[/mm] auf
> [mm](0;\infty)[/mm] differenzierbar ist.
Wie kommst du auf diese Funktion?
Ich versteh den zusammenhang zwischen meiner aufgabe und dieser funktion nicht.
Tutmirleid, ich verstehs nicht.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Sa 30.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, danke erstmal.
> >
> > Zeige:
> >
> > An jeder Stelle [mm]x\in\IR^n[/mm], [mm]x\ne 0[/mm] existieren die partiellen
> > Ableitungen [mm]\frac \partial {\partial x_k}\|x\|[/mm].
>
> Kann ich hier einfach schreiben: Sei [mm]x={x_{1},...,x_{n}}[/mm]
> und k [mm]\in[/mm] {1,...n}
> dann ist [mm]\frac \partial {\partial x_k}\|x\|=f'_{k}(x_{k})[/mm]
>
> Ich bin mir ziemlich unsicher.
Was soll das ? Da steht nichts weiter als eine Anhäufung von wahllos hintereinandergereihten Symbolen !
> >
> > Beachte hierzu, daß die Funktion [mm]t\mapsto\sqrt t[/mm] auf
> > [mm](0;\infty)[/mm] differenzierbar ist.
>
> Wie kommst du auf diese Funktion?
> Ich versteh den zusammenhang zwischen meiner aufgabe und
> dieser funktion nicht.
>
> Tutmirleid, ich verstehs nicht.
Es ist [mm] \gamma(r(x))=\gamma(\wurzel{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2})
[/mm]
Differenziere das mal nach [mm] x_j [/mm] (Kettenregel !)
FRED
>
> Lg
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Hallo, auch die danke.
Also ich habe das was du gesagt hast gemacht und erhalte:
[mm] \bruch{\partial}{\partial_{k}}=\bruch{x_{k}}{\wurzel{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}}
[/mm]
Bin ich jetzt fertig? Ich bin einbisschen verwirrt, da Helbig ja noch was von [mm] \wurzel{t} [/mm] geschrieben hat.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Sa 30.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo, auch die danke.
> Also ich habe das was du gesagt hast gemacht und erhalte:
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial_{k}}=\bruch{x_{k}}{\wurzel{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}}[/mm]
Das ist schonmal korrekt
> Bin ich jetzt fertig? Ich bin einbisschen verwirrt, da
> Helbig ja noch was von [mm]\wurzel{t}[/mm] geschrieben hat.
Beachte, dass du hier eine Wurzel hast. Diese kann man nur Ziehen, wenn der Radikand positiv oder Null ist.
Da die Wurzel aber noch im Nenner Steht, fällt die Null auch noch heraus.
Mache dir also noch ein paar Gedanken dazu.
>
> Lg
Marius
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Hallo, danke.
Also der Radikant kann doch nicht negativ sein. Erstens ist da doch immer ^2 und zweitens ist der Ausdruck im Nenner gleich [mm] r(x)=\parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}
[/mm]
und die Norm ist doch so definiert, dass sie entweder positiv oder null ist, wie du schon sagtest fällt die 0 raus, also ist sie positiv, also ist [mm] \gamma(r(x)) [/mm] partiell differenzierbar. Stimmts?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Sa 30.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo, danke.
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> Also der Radikant kann doch nicht negativ sein. Erstens ist
> da doch immer ^2 und zweitens ist der Ausdruck im Nenner
> gleich [mm]r(x)=\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{2}[/mm]
Das ist durchaus korrekt.
> und die Norm ist doch so definiert, dass sie entweder
> positiv oder null ist, wie du schon sagtest fällt die 0
> raus, also ist sie positiv, also ist [mm]\gamma(r(x))[/mm] partiell
> differenzierbar. Stimmts?
Die Null fällt nicht einfach so heraus, das hängt mit der Norm zusammen.
Wann ist denn eine Norm Null?
>
> Lg
Marius
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Hallo,
eine Norm ist Null, wenn der Vektor gleich 0 ist. (Gilt ja nach den Normaxiomen).
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Sa 30.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
> eine Norm ist Null, wenn der Vektor gleich 0 ist. (Gilt ja
> nach den Normaxiomen).
>
>
> Lg
Das ist korrekt, jetzt setze das noch in Verbindung mit
[mm]U:=\IR^{n}\setminus\{0\}[/mm]
Marius
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Hallo,
da die 0 ja ausgeschlossen wird. Folgt dass die Vektoren, also die [mm] x_{k} [/mm] ungleich Null sind, also somit sind sie positiv.
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Sa 30.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
> da die 0 ja ausgeschlossen wird. Folgt dass die Vektoren,
> also die [mm]x_{k}[/mm] ungleich Null sind, also somit sind sie
> positiv.
>
Ich habe befürchtet, dass du das so verstehst, das ist aber falsch.
Vektoren in [mm] \IR^{n} [/mm] können nicht positiv sein, sie haben einen Betrag und eine Richtung.
Hier ist durch die Wahl von U ein spezieller Vektor ausgeschlossen, der Nullvektor.
>
> Lg
Marius
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Hallo,
ach so. Dann weiß ich jetzt bescheid.
Danke an alle.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Schmetterling99,
> eine Norm ist Null, wenn der Vektor gleich 0 ist. (Gilt ja
> nach den Normaxiomen).
Dies ist zwar richtig, aber in unserem Fall belanglos. Was wir hier brauchen sind Eigenschaften der euklidischen Norm:
Zu [mm] $x=(x_1, \ldots, x_n)\in \IR^n$ [/mm] sei [mm] $s(x)=x_1^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] x_n^2$. [/mm] Weiter sei [mm] $w\colon [0;\infty)\to \IR,\; s\mapsto \sqrt [/mm] s$ die Wurzelfunktion. Für jedes $x$ ist $s(x) [mm] \ge [/mm] 0$ und es ist [mm] $\|x\|=w(s(x))$. [/mm] $s$ ist überall partiell differenzierbar. Ist [mm] $x\ne [/mm] 0$, so ist $s(x)>0$ und $w$ ist in $s(x)$ differenzierbar. Mit der Kettenregel folgt, daß [mm] $\|x\|=(w\circ [/mm] s)(x)$ in jeder Stelle [mm] $x\ne [/mm] 0$ partiell differenzierbar ist.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Sa 30.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, auch die danke.
> Also ich habe das was du gesagt hast gemacht und erhalte:
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial_{k}}=\bruch{x_{k}}{\wurzel{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}}[/mm]
> Bin ich jetzt fertig?
Wo ist [mm] \gamma [/mm] geblieben ????????
FRED
> Ich bin einbisschen verwirrt, da
> Helbig ja noch was von [mm]\wurzel{t}[/mm] geschrieben hat.
>
> Lg
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Hallo, ist die Ableitung dann:
[mm] \gamma(r(x))=\gamma(\wurzel{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2})
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] ´ [mm] (\wurzel{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2})*\bruch{x_{k}}{\wurzel{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}}
[/mm]
bin mir nicht sicher, da ich nicht weiß wie [mm] \gamma [/mm] genau aussieht, nur dass es differenzierbar ist.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 So 01.07.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo, ist die Ableitung dann:
> [mm]\gamma(r(x))=\gamma(\wurzel{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2})[/mm]
> [mm]\gamma[/mm] ´
> [mm](\wurzel{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2})*\bruch{x_{k}}{\wurzel{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}}[/mm]
> bin mir nicht sicher, da ich nicht weiß wie [mm]\gamma[/mm] genau
> aussieht, nur dass es differenzierbar ist.
Deine Formel ist zwar richtig, aber nicht die Lösung der Aufgabe: Du sollst zeigen, daß die Abbildung [mm] $x\mapsto \gamma\bigl(r(x)\bigr)$ [/mm] partiell differenzierbar ist. Dazu brauchst Du die Ableitung anzugeben. Für die Lösung ist die Formel überflüssig.
Für den Beweis beachte:
Wenn $r$ partiell differenzierbar ist, folgt mit der Kettenregel die partielle Differenzierbarkeit von [mm] $\gamma \circ [/mm] r$. Und wie man die partielle Differenzierbarkeit von $r$ zeigen kann, habe ich schon aufgeschrieben.
Grüße,
Wolfgang
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