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Forum "Uni-Analysis" - partielle Ableitung
partielle Ableitung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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partielle Ableitung: höherer Ordnung - Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Sa 12.02.2005
Autor: Sue20

1. Von f(x,y) = [mm] e^{-4x²-(y-1)²} [/mm] ist [mm] f_{yy} [/mm] zu berechnen.

[mm] f_{yy} [/mm] = [mm] -2e^{4x²-(y-1)²} [/mm] + (-2(y-1)) [mm] (-2(y-1)e^{4x²-(y-1)²}) [/mm]

= [mm] -2e^{4x²-(y-1)²} [/mm] -2(y-1) [mm] (-2(y-1)e^{4x²-(y-1)²}) [/mm]

Wie kann man das noch vereinfachen?

2. f(x,y) = [mm] \wurzel{2x + 3xy + 4y} [/mm]
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] berechnen
Lösung ist: [mm] \bruch{2 + 3y}{2\wurzel{2x + 3xy + 4y}} [/mm]

Ich komme aber auf: (2x + 3xy + [mm] 4y)^{1/2}*(2 [/mm] + 3y)
= [mm] \wurzel{2x + 3xy + 4y}*(2 [/mm] + 3y)

Was mache ich falsch?

3. f(x,y) = cos [mm] (e^{xy} [/mm] + xy)
Wann ist [mm] f_{x} [/mm] = [mm] f_{y}? [/mm]

[mm] f_{x} [/mm] = -sin [mm] (e^{xy} [/mm] + [mm] xy)*(ye^{xy} [/mm] + y)
= -y sin [mm] (e^{xy} [/mm] + xy) [mm] (e^{xy} [/mm] + 1)

[mm] f_{y} [/mm] = -sin [mm] (e^{xy} [/mm] + xy) [mm] (xe^{xy} [/mm] + x)
= -x sin [mm] (e^{xy} [/mm] + xy) [mm] (e^{xy} [/mm] + 1)

[mm] f_{x} [/mm] = [mm] f_{y} [/mm] falls x = y???

4. f(x,y) = sin (x² + y²) [mm] +e^{x} [/mm]
Bestätigen Sie [mm] f_{xy} [/mm] = [mm] f_{yx}! [/mm]

[mm] f_x [/mm] = (cos (x² + y²)*2x) + [mm] e^{x} [/mm]
[mm] f_y [/mm] = (cos (x² + y²)*2y) + [mm] e^{x} [/mm]

Wie berechne ich hier [mm] f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yx}? [/mm]

Vielen Dank!

LG Sue


        
Bezug
partielle Ableitung: Aufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Sa 12.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Sue!

> 2. f(x,y) = [mm]\wurzel{2x + 3xy + 4y}[/mm]
>  [mm]f_{x}(x,y)[/mm] berechnen
>  Lösung ist: [mm]\bruch{2 + 3y}{2\wurzel{2x + 3xy + 4y}}[/mm]
>  
> Ich komme aber auf: [mm9(2x + 3xy + [mm] 4y)^{1/2}*(2 [/mm] + 3y)[/mm]
>  = [mm]\wurzel{2x + 3xy + 4y}*(2 + 3y)[/mm]
>  
> Was mache ich falsch?

Du machst einen kleinen Vorzeichenfehler:
[mm] $\left( \ \wurzel{z} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \left( \ z^{+\bruch{1}{2}} \ \right)' [/mm] \ = \ \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] z^{\red{-}\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2 \ \wurzel{z}}$ [/mm]

Alles klar?

Loddar


Bezug
        
Bezug
partielle Ableitung: Aufgabe 3 + 4
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Sa 12.02.2005
Autor: Loddar

Aufgabe 3

> [mm]f(x,y) = cos \left(e^{xy} + xy \right)[/mm]
> Wann ist [mm]f_{x}[/mm] = [mm]f_{y}[/mm] ?
>  
> [mm]f_{x} = -sin (e^{xy} + xy)*(ye^{xy} + y)[/mm]
> [mm]= -y * sin (e^{xy} + xy) * (e^{xy} +1)[/mm]

[daumenhoch]

> [mm]f_{y} = -sin (e^{xy} + xy) * (xe^{xy} + x)[/mm]
> [mm]= -x * sin (e^{xy} + xy) * (e^{xy} + 1)[/mm]

[daumenhoch]


> [mm]f_{x} = f_{y}[/mm] falls x = y???

[daumenhoch]
Vielleicht sollt man sich noch die Nullstellen des Ausdruckes [mm] $\sin \left( e^{xy} + xy \right)$ [/mm] ansehen ...



Aufgabe 4

> [mm]f(x,y) = sin (x² + y²) + e^{x}[/mm]
> Bestätigen Sie [mm]f_{xy} = f_{yx}[/mm] !
>  
> [mm]f_x = \cos \left(x^2 + y^2 \right) * 2x + e^{x}[/mm]

[daumenhoch]


>  [mm]f_y = \cos \left(x^2 + y^2 \right) * 2y + e^{x}[/mm]

[notok] Der Term [mm] $e^x$ [/mm] entfällt, da er ja für die partielle Ableitung nach $y$ als konstant angesehen wird.



> Wie berechne ich hier [mm]f_{xy}[/mm] und [mm]f_{yx}[/mm] ?

Du nimmst [mm] $f_x(x,y)$ [/mm] und leitest nach $y$ ab;
analog [mm] $f_y(x,y)$ [/mm] nach $x$ ableiten.

Letzter Schritt: Gleichheit zeigen (wenn man sie sowieso nicht gleich sieht)!


Loddar


Bezug
        
Bezug
partielle Ableitung: Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Sa 12.02.2005
Autor: Loddar

Aufgabe 1

> Von [mm]f(x,y) = e^{-4x²-(y-1)²}[/mm] ist [mm]f_{yy}[/mm] zu berechnen.
> [mm]f_{yy} = -2e^{4x²-(y-1)²} -2(y-1) * (-2(y-1)e^{4x²-(y-1)²})[/mm]

Zunächst hast du einen kleinen Tippfehler drin:
[mm] $f_{yy} [/mm] \ = \ [mm] -2e^{\red{-}4x^2-(y-1)^2} [/mm] \ - 2*(y-1) * [mm] \left[-2*(y-1)*e^{\red{-}4x^2-(y-1)^2} \right]$ [/mm]

Als Vereinfachung könntest Du noch $2 * [mm] \left[ e^{-4x^2-(y-1)^2} \right]$ [/mm] ausklammern:

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
[mm] $f_{yy}(x,y) [/mm] \ = \ 2 * [mm] \left[ 2*(y-1)^2 - 1 \right] [/mm] * [mm] e^{-4x^2-(y-1)^2}$ [/mm]


Loddar


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