partielle Ableitung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC [/mm] gegeben durch
[mm] f(x)=\bruch{xy(x+iy)}{x^2+y^2} [/mm] falls x+iy [mm] \not= [/mm] 0
f(x) = 0 falls x=y=0
Zeigen Sie, dass f in 0 partiell nach x und nach y ableitbar ist, dass in 0 die Cauchy-Riemannschen-Di fferentialgleichungen erfüllt sind, dass f aber keine holomorphe Funktion ist |
Hallo,
also die partiellen Ableitungen habe ich von [mm] u=\bruch{x^2y}{x^2+y^2} [/mm] als den reellen Teil und [mm] v=i*\bruch{xy^2}{x^2+y^2} [/mm] den imaginären Teil gemacht.
partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] = [mm] i*\bruch{x^4-x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{y^4-x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v}{\partial y} =i*\bruch{2x^3y}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Nach den Cauchy-Riemannschen-Di fferentialgleichungen gilt:
[mm] 1)\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}
[/mm]
und
[mm] 2)\bruch{\partial v}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
für 1) wenn x=iy
für 2) wenn x=-iy
stimmt das soweit?
wie bekomm ich jetzt noch, dass die Funktion nicht holomorph ist?
schon mal vielen Dank
fg
Chrissi
|
|
| |
|
Hiho,
stell dir doch mal die Frage, warum die CR-DGLs erfüllt sind, f aber nicht holomorph ist.
Was sind die Voraussetzungen, damit f holomorph ?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo Gono,
danke für die Antwort;
die Vorraussetzungen für holomorphe Funktionen sind die CR-DGLen und u,v müssen stetig sein.
Aber ich kann doch jetz nich auch noch zeigen müssen, dass u, v nicht stetig sind, oder?
fg
Chrissi
|
|
|
| |
|
Hiho,
> die Vorraussetzungen für holomorphe Funktionen sind die
> CR-DGLen und u,v müssen stetig sein.
Nein.
Nicht u und v müssen stetig sein, sondern deren partielle Ableitungen, das ist ein Unterschied (ich hoffe, der ist dir auch klar).
> Aber ich kann doch jetz nich auch noch zeigen müssen,
> dass u, v nicht stetig sind, oder?
Nein, müssen tust du das nicht. Du kannst dir auch die Grunddefinition von holomorph nehmen und damit zeigen, dass
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(z + h) - f(z)}{h} [/mm] nicht für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] existiert. Für welches z wird es denn gerade schiefgehen?
Aber: Von der Methodik her macht beides keinen Unterschied, ob du nun Unstetigkeit von den partiellen Ableitungen zeigen sollst, oder zeigen sollst, dass obiger Grenzwert nicht existiert. Die Überlegungen sind ähnlich....
MFG,
Gono.
|
|
|
|
