partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion g : R3 ! R3, x 7! g(x) = [mm] (3x_1^2x_2; x_1 [/mm] + [mm] 3x_2; x_3 [/mm] + [mm] x_1^2)T [/mm] .
Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen Digj , i; j = 1; 2; 3, sowie div g, rot g und [mm] \nabla [/mm] g. |
Hi zusammen,
zunächst eine Frage ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe.
Ich soll hier zunächst die 3 Ableitungen für [mm] x_1, x_2 [/mm] & [mm] x_3 [/mm] machen?
[mm] D_1(x_1. x_2, x_3) [/mm] = [mm] (6x_1x_2, 1+3x_2 [/mm] , [mm] x_3+2x_1)T
[/mm]
[mm] D_2(x_1. x_2, x_3) [/mm] = [mm] (3x_1^2 [/mm] , [mm] x_1+3 [/mm] , 0)T
[mm] D_3(x_1. x_2, x_3) [/mm] = (0 , 0 , [mm] 1+x_1^2)T
[/mm]
[mm] D_1^2(x_1, x_2, x_3) [/mm] = [mm] (6x_2 [/mm] , 0 , [mm] x_3+2)T
[/mm]
[mm] D_2^2(x_1, x_2, x_3) [/mm] = (0 , 0 , 0)T
[mm] D_3^2(x_1, x_2, x_3) [/mm] = (0 , 0 , 0)T
[mm] D_1^3(x_1, x_2, x_3) [/mm] = (0 , 0 , 0)T
[mm] D_2^3(x_1, x_2, x_3) [/mm] = (0 , 0 , 0)T
[mm] D_3^3(x_1, x_2, x_3) [/mm] = (0 , 0 , 0)T
Jetzt weiß ich wohl das div g & rot g die Divergenz bzw. die Rotation ist. Jedoch kann ich das berechnen? Habe dazu nichts gefunden wie ich da vorzugehen habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Gegeben sei die Funktion g : R3 ! R3, x 7! g(x) =
> [mm](3x_1^2x_2; x_1[/mm] + [mm]3x_2; x_3[/mm] + [mm]x_1^2)T[/mm] .
> Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen Digj , i; j = 1;
> 2; 3, sowie div g, rot g und [mm]\nabla[/mm] g.
> Hi zusammen,
>
> zunächst eine Frage ob ich die Aufgabenstellung richtig
> verstanden habe.
> Ich soll hier zunächst die 3 Ableitungen für [mm]x_1, x_2[/mm] &
> [mm]x_3[/mm] machen?
>
> [mm]D_1(x_1. x_2, x_3)[/mm] = [mm](6x_1x_2, 1+3x_2[/mm] , [mm]x_3+2x_1)T[/mm]
Das ist schon falsch!
Du leitest nach [mm] $x_1$ [/mm] ab, also gilt:
[mm] \frac{dg}{dx_1}=[6x_1x_2;1;2x_1]^T=\vektor{6x_1x_2 \\ 1 \\ 2x_1}
[/mm]
Dabei sind [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] Variablen!
> [mm]D_2(x_1. x_2, x_3)[/mm] = [mm](3x_1^2[/mm] , [mm]x_1+3[/mm] , 0)T
> [mm]D_3(x_1. x_2, x_3)[/mm] = (0 , 0 , [mm]1+x_1^2)T[/mm]
> [mm]D_1^2(x_1, x_2, x_3)[/mm] = [mm](6x_2[/mm] , 0 , [mm]x_3+2)T[/mm]
> [mm]D_2^2(x_1, x_2, x_3)[/mm] = (0 , 0 , 0)T
> [mm]D_3^2(x_1, x_2, x_3)[/mm] = (0 , 0 , 0)T
> [mm]D_1^3(x_1, x_2, x_3)[/mm] = (0 , 0 , 0)T
> [mm]D_2^3(x_1, x_2, x_3)[/mm] = (0 , 0 , 0)T
> [mm]D_3^3(x_1, x_2, x_3)[/mm] = (0 , 0 , 0)T
Diese Schreibweise ist auch, meines Erachtens, falsch!
Hier sind sehr viele Fehler drin!
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich wusste nicht wie ich z.B. bei [mm] D_1 x_2 [/mm] behandeln muss wenn [mm] x_2 [/mm] dazu addiert wird und nicht multipliziert.
Auf diese Schreibweise haben wir uns in der Uni geeinigt. Deine kenne ich auch.
[mm] D_1(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (6x_1x_2 [/mm] , 1 , [mm] 2x_1)^T
[/mm]
[mm] D_2(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (3x_1^2 [/mm] , 3 , [mm] 1)^T
[/mm]
[mm] D_3(x_1,x_2,x_3) [/mm] = (0 , 0 , [mm] 1)^T
[/mm]
die zweite partielle Ableitung z.B. nach [mm] x_1 [/mm] mache ich ja folgendermaßen:
[mm] D_1^2(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (6x_2 [/mm] , 0 , [mm] 2)^T
[/mm]
also ich leite [mm] D_1 [/mm] nach [mm] x_1 [/mm] ab.
Ist das soweit korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hi,
>
> ich wusste nicht wie ich z.B. bei [mm]D_1 x_2[/mm] behandeln muss
> wenn [mm]x_2[/mm] dazu addiert wird und nicht multipliziert.
Das verstehe ich leider nicht.
> Auf diese Schreibweise haben wir uns in der Uni geeinigt.
> Deine kenne ich auch.
> [mm]D_1(x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm](6x_1x_2[/mm] , 1 , [mm]2x_1)^T[/mm]
> [mm]D_2(x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm](3x_1^2[/mm] , 3 , [mm]1)^T[/mm]
Fast richtig. Guck dir das nochmal an.
> [mm]D_3(x_1,x_2,x_3)[/mm] = (0 , 0 , [mm]1)^T[/mm]
>
> die zweite partielle Ableitung z.B. nach [mm]x_1[/mm] mache ich ja
> folgendermaßen:
> [mm]D_1^2(x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm](6x_2[/mm] , 0 , [mm]2)^T[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also ich leite [mm]D_1[/mm] nach [mm]x_1[/mm] ab.
>
> Ist das soweit korrekt?
Fast 
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Ja,
[mm] D_2(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (3x_1^2 [/mm] , 3 , [mm] 0)^T [/mm] also 0 statt 1
Ich meinte damit folgendes:
bei 3 * [mm] x_1^2 [/mm] * [mm] x_2 [/mm] muss ich bei der Ableitung nach [mm] x_1, x_2 [/mm] weiterhin beachten. Also [mm] 6x_1x_2
[/mm]
bei [mm] x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] muss ich bei der Ableitung nach [mm] x_1, x_2 [/mm] nicht mehr beachten.
Also wird es bei der Ableitung zu 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Ja,
> [mm]D_2(x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm](3x_1^2[/mm] , 3 , [mm]0)^T[/mm] also 0 statt 1
> Ich meinte damit folgendes:
> bei 3 * [mm]x_1^2[/mm] * [mm]x_2[/mm] muss ich bei der Ableitung nach [mm]x_1, x_2[/mm]
> weiterhin beachten. Also [mm]6x_1x_2[/mm]
Was meinst du mit beachten?
[mm] \frac{d}{dx_1}3*x_1^2*x_2=6x_1
[/mm]
> bei [mm]x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] muss ich bei der Ableitung nach [mm]x_1, x_2[/mm]
> nicht mehr beachten.
Was meinst du mit beachten?
> Also wird es bei der Ableitung zu 1
Ja, wenn du nach [mm] $x_1$ [/mm] ableitest.
Wenn du nach [mm] x_2 [/mm] ableitest gilt das nicht mehr.
Ich denke, dass du das richtige meinst mit deinem "beachten".
Wenn du nach [mm] $x_1$ [/mm] ableitest, dann ist [mm] $x_2$, [/mm] falls vorhanden, einfach nur eine reelle Zahl.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
jetzt zur Divergenz Rotation & zu delta g (zumindest steht da ein Dreickeck und dann g).
Die Divergenz ist ja der Gradient mal der Funktion.
Die Rotation ist ja der Gradient kreuz der Funktion.
Den Gradient kann ich aber nur ausrechnen wenn ich einen Richtungsvektor und einen Punkt habe.
Was habe ich hier zu machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> jetzt zur Divergenz Rotation & zu delta g (zumindest steht
> da ein Dreickeck und dann g).
Das ist kein Delta ( [mm] \Delta), [/mm] sonder nabla ( nabla)
> Die Divergenz ist ja der Gradient mal der Funktion.
> Die Rotation ist ja der Gradient kreuz der Funktion.
>
> Den Gradient kann ich aber nur ausrechnen wenn ich einen
> Richtungsvektor und einen Punkt habe.
Was ist los ? Wozu brauchst Du einen Richtungsvektor ?
FRED
>
> Was habe ich hier zu machen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Sorry,
ich war hier vollkommen falsch.
Ich muss die die Funktion ableiten. Also brauch [mm] D_1, D_2, D_3.
[/mm]
Dann habe ich immer für [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] die gegebenen Punkte ein. Diesmal ist jedoch keiner gegeben. Und schon weiß ich nicht mehr weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Erinnere Dich an Deine Schulzeit:
Ist [mm] f(x)=x^2+3x, [/mm] was ist dann f'(x) für beliebiges (!) x ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
f`(x) = 2x + 3. Aber auch hier muss ich zugeben das damit nicht weiter bin wie zuvor.
Zunächst habe ich das nur mit Funktion und noch nie mit einem Vektor gemacht und auch nur mit [mm] x_1 [/mm] & [mm] x_2 [/mm] und nicht noch mit [mm] x_3.
[/mm]
Dann habe ich immer nach [mm] x_1 [/mm] und nach [mm] x_2 [/mm] abgeleitet und hatte dann "zwei Funktion" aus den ich dann einen Vektor gemacht habe. 1 Funktion war "oben" und die zweite "unten". Dann habe ich den gegebenen Punkt eingesetzt und dann hatte ich einen Vektor der mein Gradient war.
Hier weiß ich gar nicht weiter.
Jetzt habe ich [mm] D_1, D_2 [/mm] & [mm] D_3 [/mm] ausgerechnet und selbst jetzt weiß ich nicht wie ich genau vorgehen soll.
Ist mein Vektor in den ich den Punkt einsetzen muss oder nicht und x bleibt beliegig, folgender ?
[mm] \begin{pmatrix} 6x_1x_2 + 3x_1^2 + 0 \\ 1 + 3 + 0 \\ 2x_1 + 0 + 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Also das sind ja die Werte der ersten Ableitungen für [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3.
[/mm]
Setze ich hier also keine Werte ein und lasse den Gradient beliebig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hi,
> f'(x) = 2x + 3. Aber auch hier muss ich zugeben das damit
> nicht weiter bin wie zuvor.
> Zunächst habe ich das nur mit Funktion und noch nie mit
> einem Vektor gemacht und auch nur mit [mm]x_1[/mm] & [mm]x_2[/mm] und nicht
> noch mit [mm]x_3.[/mm]
> Dann habe ich immer nach [mm]x_1[/mm] und nach [mm]x_2[/mm] abgeleitet und
> hatte dann "zwei Funktion" aus den ich dann einen Vektor
> gemacht habe. 1 Funktion war "oben" und die zweite "unten".
> Dann habe ich den gegebenen Punkt eingesetzt und dann hatte
> ich einen Vektor der mein Gradient war.
>
> Hier weiß ich gar nicht weiter.
> Jetzt habe ich [mm]D_1, D_2[/mm] & [mm]D_3[/mm] ausgerechnet und selbst
> jetzt weiß ich nicht wie ich genau vorgehen soll.
> Ist mein Vektor in den ich den Punkt einsetzen muss oder
> nicht und x bleibt beliegig, folgender ?
>
> [mm]\begin{pmatrix} 6x_1x_2 + 3x_1^2 + 0 \\ 1 + 3 + 0 \\ 2x_1 + 0 + 1 \end{pmatrix}[/mm]
Was hast du denn hier angestellt?
Wo sind die Ableitungen geblieben?
> Also das sind ja die Werte der ersten Ableitungen für [mm]x_1, x_2[/mm]
> und [mm]x_3.[/mm]
>
> Setze ich hier also keine Werte ein und lasse den Gradient
> beliebig?
Du willst doch nur deine partiellen Ableitungen in einen Vektor eintragen.
Du hast eine Funktion der folgenden Art:
[mm] f:\IR^n\to\IR
[/mm]
Es gilt:
[mm] \nabla f=(\frac{\partial f}{x_1},\frac{\partial f}{x_2},\ldots,\frac{\partial f}{x_n})^T
[/mm]
Was passiert nun, wenn deine Funktion wie folgt aussieht?
[mm] f:\IR^3\to\IR
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich weiß jetzt echt nicht mehr weiter.
Ich habe hier [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3
[/mm]
Ich habe die Ableitungen gemacht.
Der Gardient besteht aus den Ableitungen.
Muss ich jetzt die ersten Ableitungen nehmen, [mm] D_1, D_2, D_3, [/mm] und was damit machen.
Das die Funktion ist ein Vektor und damit komme ich scheinbar nicht zurecht.
Ich habe jetzt nur noch eine Idee, die mir jedoch nicht wirklich gut vorkommt.
grad [mm] f(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} (6x_1x_2 , 1 , 2x_1)^T \\ (3x_1^2 , 3 , 0)^T \\ (0 , 0 , 1)^T \end{pmatrix}
[/mm]
Ich habe echt keine Ahnung mehr. Wenn das auch nicht stimmen sollte, wovon ich ausgehe, kann mir jemand zeigen was ich zu machen habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hi,
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> ich weiß jetzt echt nicht mehr weiter.
> Ich habe hier [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm]
>
> Ich habe die Ableitungen gemacht.
> Der Gardient besteht aus den Ableitungen.
> Muss ich jetzt die ersten Ableitungen nehmen, [mm]D_1, D_2, D_3,[/mm]
> und was damit machen.
> Das die Funktion ist ein Vektor und damit komme ich
> scheinbar nicht zurecht.
> Ich habe jetzt nur noch eine Idee, die mir jedoch nicht
> wirklich gut vorkommt.
>
> grad [mm]f(x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} (6x_1x_2 , 1 , 2x_1)^T \\ (3x_1^2 , 3 , 0)^T \\ (0 , 0 , 1)^T \end{pmatrix}[/mm]
Du transponierst dort nichts und die Kommata kannst du weglassen, es gilt:
[mm] $\nabla f=grad\begin{pmatrix} 6x_1x_2 & 1 & 2x_1 \\ 3x_1^2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
> Ich habe echt keine Ahnung mehr. Wenn das auch nicht
> stimmen sollte, wovon ich ausgehe, kann mir jemand zeigen
> was ich zu machen habe?
Auf geht's zur Divergenz und Rotation
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ist die Divergenz die Summe der ersten partiellen Ableitungen ?
Laut meinem Skript soll das so sein. Jedoch zeigen sie es nur mit einem Vektor und nicht mit einer Matrix wie ich sie hier habe.
Ich muss ja dann [mm] D_1 [/mm] + [mm] D_2 [/mm] + [mm] D_3 [/mm] rechnen. Wie habe hier bei einer Matrix vorzugehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hi,
>
> ist die Divergenz die Summe der ersten partiellen
> Ableitungen ?
> Laut meinem Skript soll das so sein. Jedoch zeigen sie es
> nur mit einem Vektor und nicht mit einer Matrix wie ich sie
> hier habe.
> Ich muss ja dann [mm]D_1[/mm] + [mm]D_2[/mm] + [mm]D_3[/mm] rechnen. Wie habe hier bei
> einer Matrix vorzugehen.
Guck dir genau an was du hier geschrieben hast und denk nochmal nach.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Das sind meine Ableitungen und was sagt mir das zu meinem Problem?
Unser Beispiel im Skript:
[mm] g(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1^2 - 1 \\ -x_2 \end{pmatrix}
[/mm]
div [mm] g(x_1,x_2) [/mm] = [mm] 2x_1 [/mm] - 1
[mm] 2x_1 [/mm] ist die Ableitung nach [mm] x_1
[/mm]
-1 ist nach [mm] x_2
[/mm]
Wozu ich den Gradient berechnet habe weiß nun mittlerweile nicht wirklich, aber egal.
Mache ich jetzt folgendes ?
div [mm] g(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] 6x_1x_2 [/mm] + 3 + 1 = [mm] 6x_1x_2 [/mm] + 4
Bei meiner Aufgabe ist ist [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] und mehreren Zeilen und jetzt bin ich mir nicht sicher wie ich das behandeln muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich wollte dich mit dem Link darauf hinweisen,
dass du bei deinen partiellen Ableitungen Vektoren erhalten hast.
Das hast du doch charakterisiert durch das $T$!
Im Grunde musst du, in diesem Sinne, keine Matrizen addieren, sondern Vektoren.
Alles klar?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Ich glaube ja. Bei dem Beispiel hat es zumindest geklappt.
Also wenn ich [mm] D_1 [/mm] + [mm] D_2 [/mm] + [mm] D_3 [/mm] rechne bekomme ich,
[mm] (6x_1x_2 [/mm] + [mm] 3X_1^2) [/mm] + 4 + [mm] (2x_1 [/mm] + 1) = [mm] 3x_1^2 [/mm] + [mm] 6x_1x_2 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + 5
Ist das korrekt ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich glaube ja. Bei dem Beispiel hat es zumindest geklappt.
> Also wenn ich [mm]D_1[/mm] + [mm]D_2[/mm] + [mm]D_3[/mm] rechne bekomme ich,
> [mm](6x_1x_2[/mm] + [mm]3X_1^2)[/mm] + 4 + [mm](2x_1[/mm] + 1) = [mm]3x_1^2[/mm] + [mm]6x_1x_2[/mm] +
> [mm]2x_2[/mm] + 5
>
> Ist das korrekt ?
Nein, es gilt:
$div [mm] f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{\partial}{\partial x_1}f_{x_1}+\frac{\partial}{\partial x_2}f_{x_2}+\ldots\frac{\partial}{\partial x_n}f_{x_n}$
[/mm]
Jetzt schreib genau auf was du hast!
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
[mm] \begin{pmatrix} 6x_1x_2 \\ 1 \\ 2x_1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 3x_1^2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 6x_1x_2 + 3x_1^2 \\ 1 + 3 \\ 2x_1 + 1 \end{pmatrix}
[/mm]
div [mm] g(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (6x_1x_2 [/mm] + [mm] 3x_1^2) [/mm] + 4 + [mm] (2x_1 [/mm] + 1)
Was habe ich falsch gemacht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]\begin{pmatrix} 6x_1x_2 \\ 1 \\ 2x_1 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\begin{pmatrix} 3x_1^2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 6x_1x_2 + 3x_1^2 \\ 1 + 3 \\ 2x_1 + 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> div [mm]g(x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm](6x_1x_2[/mm] + [mm]3x_1^2)[/mm] + 4 + [mm](2x_1[/mm] + 1)
>
> Was habe ich falsch gemacht ?
Zunächst muss dort ein Vektor rauskommen und nicht irgendein Term.
Du sollst folgendes ausrechnen:
$div [mm] f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{\partial}{\partial x_1}f_{x_1}+\frac{\partial}{\partial x_2}f_{x_2}+\ldots\frac{\partial}{\partial x_n}f_{x_n}$
[/mm]
Was heißt denn der folgende Term?
[mm] \frac{\partial}{\partial x_1}f_{x_1}
[/mm]
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Scheinbar nicht.
Also muss ich [mm] D_1 [/mm] * [mm] f_x_1
[/mm]
Mir ist nicht klar was [mm] f_x_1 [/mm] ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Der Ersteller dieser Aufgabe fragt nicht ohne Grund nach weiteren partiellen Ableitungen.
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
heißt das also das [mm] D_1^2 [/mm] gefragt ist ?
Also D_!^2 = [mm] (6x_2 [/mm] , 0 , [mm] 2)^T
[/mm]
Das addiere ich dann mit den Vektoren [mm] D_2^2 [/mm] & [mm] D_3^2, [/mm] was dann die Divergenz ergibt als Vektor.
[mm] D_2^2 [/mm] = (0 , 0 , [mm] 0)^T
[/mm]
[mm] D_3^2 [/mm] = (0 , 0 , [mm] 0)^T
[/mm]
[mm] div(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (6x_2 [/mm] , 0 , [mm] 2)^T
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hi,
>
> heißt das also das [mm]D_1^2[/mm] gefragt ist ?
> Also D_!^2 = [mm](6x_2[/mm] , 0 , [mm]2)^T[/mm]
> Das addiere ich dann mit den Vektoren [mm]D_2^2[/mm] & [mm]D_3^2,[/mm] was
> dann die Divergenz ergibt als Vektor.
> [mm]D_2^2[/mm] = (0 , 0 , [mm]0)^T[/mm]
> [mm]D_3^2[/mm] = (0 , 0 , [mm]0)^T[/mm]
> [mm]div(x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm](6x_2[/mm] , 0 , [mm]2)^T[/mm]
Ich finde die Notation noch immer nicht in Ordnung,
aber es ist auf jeden Fall richtig so.
Ab zur Rotation
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Kaum zu glauben aber es hat geklappt, zumindest mit der Divergenz.
Zur Rotation:
[mm] \begin{pmatrix} D_2 f_x_3 - D_3 f_x_2 \\ D_3 f_x_1 - D_1 f_x_3\\ D_1 f_x_2 - D_2 f_x_2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 - 0 \\ 0 - 0 \\ 6x_1 - 6x_1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Mit [mm] D_2 f_x_3 [/mm] meine ich z.B. [mm] D_2 [/mm] nach [mm] x_3 [/mm] ableiten
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Kaum zu glauben aber es hat geklappt, zumindest mit der
> Divergenz.
>
> Zur Rotation:
> [mm]\begin{pmatrix} D_2 f_x_3 - D_3 f_x_2 \\ D_3 f_x_1 - D_1 f_x_3\\ D_1 f_x_2 - D_2 f_x_2 \end{pmatrix}[/mm]
Ganz unten rechts muss eine [mm] x_1 [/mm] stehen!
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 - 0 \\ 0 - 0 \\ 6x_1 - 6x_1 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Ja sorry, da habe ich mich vor lauter [mm] x_1 [/mm] usw. verschrieben.
Ist denn die Rechnung soweit korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
welche Rechnung?
der thread ist inzwischen so lang, dass du die fkt und deine Ergebnisse für div, rot und [mm] \Delta [/mm] zusammenschreiben solltest ( z.B. mit paste und copy)
und dann fragen.
wenn ich durchklicke steht da ne menge falsches.
Gruß leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Di 28.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Ok, ich fasse mal zusammen.
g(x) = [mm] (3x_1^2x_2 [/mm] , [mm] x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] , [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_1^2)^T
[/mm]
Ableitungen:
[mm] D_1 (x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (6x_1x_2 [/mm] , 1 , [mm] 2x_2)^T
[/mm]
[mm] D_2 (x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (3x_1^2 [/mm] , 3 , [mm] 0)^T
[/mm]
[mm] D_3 (x_1,x_2,x_3) [/mm] = (0 , 0 , [mm] 1)^T
[/mm]
[mm] D_1^2 (x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (6x_2 [/mm] , 0 , [mm] 2)^T
[/mm]
ab jetzt ist alles 0
Divergenz:
[mm] \begin{pmatrix} 6x_2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 6x_2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Rotation:
Kreuzprodukt: erste Ableitung nach [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] ableiten.
[mm] \begin{pmatrix} 0 - 0 \\ 0 - 0 \\ 6x_1 - 6x_1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Nabla:
zweite Abletung nach [mm] x_1, x_2 [/mm] & [mm] x_3 [/mm] ableiten. Also dritte Ableitung addieren.
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Ist das korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Di 28.01.2014 | | Autor: | chrisno |
> Ok, ich fasse mal zusammen.
> [mm] g(x) = (3x_1^2x_2,\quad x_1 + 3x_2,\quad x_3 + x_1^2)^T[/mm]
Du kannst etliche mms sparen, schau mal in den Quelltext (zitieren).
>
> Ableitungen:
> [mm]D_1 (x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm](6x_1x_2[/mm] , 1 , [mm]2x_2)^T[/mm]
Hoffentlich nur ein Tippfehler in [mm] $D_1$
[/mm]
> [mm]D_2 (x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm](3x_1^2[/mm] , 3 , [mm]0)^T[/mm]
> [mm]D_3 (x_1,x_2,x_3)[/mm] = (0 , 0 , [mm]1)^T[/mm]
> [mm]D_1^2 (x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm](6x_2[/mm] , 0 , [mm]2)^T[/mm]
> ab jetzt ist alles 0
Es fehlen noch die gemischten Ableitungen: [mm] $D_{12}, D_{13}, D_{23}, D_{21}, D_{31}, D_{32}$
[/mm]
>
Alles weitere ist falsch, da Du nicht die ersten Ableitungen verwendet hast.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:32 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo 8
ich kenne einen Gradienten nur für Funktionen von [mm] R^n [/mm] nach R
was soll den dein Vektor bzw matrix bedeuten.
in der Aufgabe ist dich nur nach den Skalar div f und dem Vektor rot f gefragt?
mit [mm] \nabla [/mm] hat es sich wohl verschrieben und meint [mm] \Delta.
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:46 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo leduart,
> Hallo 8
> ich kenne einen Gradienten nur für Funktionen von [mm]R^n[/mm]
> nach R
Ja, ich habe mich verschrieben. Ich meinte [mm] \IR^3\to\IR.
[/mm]
Es gibt aber noch den Vektorgradienten.
> was soll den dein Vektor bzw matrix bedeuten.
Welchen meinst du? Davon steht nichts in der Antwort von mir.
> mit [mm]\nabla[/mm] hat es sich wohl verschrieben und meint
> [mm]\Delta.[/mm]
Das verstehe ich nicht.
> Gruss leduart
Gruß
DieAcht
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