partielle Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Sa 22.04.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] sei stetig partiell differenzierbar und es gebe ein p [mm] \in \IN, [/mm] so dass f(tx) = [mm] t^p*f(x) [/mm] für alle t [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \in \IR^n [/mm] gilt. Zeigen sie:
[mm] \summe_{i=1}^{n}x_i* \bruch{ \delta f}{ \delta x_i}(x) [/mm] = pf(x) |
Habe überhaubt keine Ahnung, was ich mit dieser Aufgabe anfangen soll :-(
habe die Thematik der partiellen Differenzierbarkeit noch nicht wirklich durchdrungen kann es zwar rechnen aber kann mir hier gerade unter den ganzen Bedingungen nicht viel vorstellen
kann ich aus f(tx) = [mm] t^p*f(x) [/mm] folgern, dass f(x) irgendwie die Gestalt f(x) = (x|x) haben sollte? Wobei (x|x) standard Skalarprodukt von x mit sich selbst sein soll
damit würden dann zumindest für den Fall n=1 die Gleichung gelten, weil
dann wäre (x|x) ja quasi [mm] x^2 [/mm] und
f(tx)= [mm] (tx)^2 [/mm] = [mm] t^2*x^2 [/mm] = [mm] t^2*f(x) [/mm]
und aus der Summe würde ja einfach
xf´(x) = x*2x = [mm] 2x^{2} [/mm] = 2f(x)
mit dem Standard Skalarprodukt dürfte die Gleichung auch für beliebiges n gelten
Kann ich das den irgendwie verallgemeiner?
bin für jeden Ansatz dankbar
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
mit freundlichen Grüßen Neli
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Hallo neli,
je nachdem, wie wohl man sich schon in der mehrdimensionalen analysis fühlt, ist diese aufgabe gar nicht so schwer.... 
Hattet ihr schon die mehrdim. kettenregel? Nimm dir dann die gleichung [mm] $f(tx)=t^p\cdot [/mm] f(x)$ und leite sie nach $t$ ab. Dann hast du die lösung schon fast da stehen.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 23.04.2006 | | Autor: | neli |
Na das lässt ja dann noch hoffen 
habe mal Versucht die abzuleiten aber da mir das jetzt noch nicht wirklich weiterhilft habe ich etwas den Verdacht die Ableitung stimmt nicht
also ich habe da dann raus:
"Nabla"f(tx)x = [mm] pt^{p-1}f(x)
[/mm]
("Nabla" = [mm] (D_1,....D_n) [/mm] und [mm] D_i [/mm] = i-te partielle Ableitung)
daraus folgt dann, dass pf(x) [mm] ="Nabla"f(tx)*\bruch{x}{t^{p-1}}
[/mm]
Aber wie kriege ich das t aus der Gleichung das kommt ja in der unteren Gleichung nicht mehr vor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 So 23.04.2006 | | Autor: | neli |
Ich kann doch nicht einfach t=1 setzen oder?
die Gleichung f(tx) = [mm] t^p*f(x) [/mm] soll ja für alle t [mm] \in \IR [/mm] gelten
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doch klar, kannst du!
Die gleichung gilt für alle $t$, deshalb kannst du nach $t$ ableiten. Schaut man sich dann die entstehende gleichung nur für $t=1$ an, hat man die zu beweisende aussage. Ist nix gegen zu sagen!
VG
Matthias
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