partielle Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mo 12.11.2007 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1+ sin x}{1 - cos x} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{sin (2x)}{1 + sin^2 x} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey,
ich steh gerade bei der Bestimmung der zwei Stammfunktionen auf dem Schlauch.
Ich gehe mal davon aus, dass ich in beiden Fällen substituieren muss, mir fällt aber kein geeigneter Wert (u = ?) ein...das ist an sich alles, was ich grad brauchen würde, ein Tipp für eine Substitution (bzw. den Hinweis dass eine Substitution jetzt sinnlos wäre)
vielen dank schonmal ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MattiJo!
Ersetze [mm] $\sin(2*x)$ [/mm] durch [mm] $2*\sin(x)*\cos(x)$. [/mm] Damit hast Du nun im Zähler exakt die Ableitung des Nenners stehen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mo 12.11.2007 | | Autor: | MattiJo |
wow, super danke! das war bei der zwei der entscheidende punkt! wenn ich doch auch nur diese kniffligen sachen immer gleich erkennen könnte...
kannst du mir vllt noch einen tipp für eine substitution bei der eins geben? mir will einfach immer noch keine passende einfallen! :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Di 13.11.2007 | | Autor: | MattiJo |
jetzt hab ich blöderweise oben "mitteilung" statt "frage" ausgewählt und weiß nicht, wie ich den status ändern kann...
deshalb nochmal die frage: weiß vllt jemand eine geeignete substitution bei der ersten aufgabe?
viele grüße, matti
|
|
|
| |
|
Hallo MattiJo,
ich glaube, ich habe eine Lösung, aber sonderlich schön ist sie nicht.
Eine direkte Substitution scheint nicht zu gehen, zumindest sehe ich keine 
(Was nix heißen will...)
Nun denn, du kannst den Bruch mit Hilfe der Additionstheoreme für [mm] $\sin, \cos$ [/mm] zunächst umformen.
Es ist ja [mm] $\cos(x+y)=\cos(x)\cdot{}\cos(y)-\sin(x)\cdot{}\sin(y)$
[/mm]
Also ist [mm] $\blue{\cos(x)}=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\blue{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
Und bekanntermaßen [mm] $1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Also ist [mm] $\red{1-\cos(x)}=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\left(\blue{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}\right)=\red{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
Ebenso ist [mm] $\sin(x)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Damit kannst du dein Ausgangsintegral schreiben als
[mm] $\int\frac{1+\sin(x)}{1-\cos(x)}\, dx=\int\frac{1+2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}\, dx=\int\underbrace{\frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}}_{=\cot\left(\frac{x}{2}\right)}\, dx+\frac{1}{2}\cdot{}\int\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}\, [/mm] dx$
Berechne also beide entstehenden Integrale einzeln
Für das erste Integral [mm] $\int\frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\, [/mm] dx$ substituiere [mm] $u:=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Das geht recht schnell...
Oder du "siehst", dass es fast ein logarithmischen Integral, also eines der Bauart [mm] $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\, [/mm] dx$ ist, das als Stammfunktion [mm] $\ln|f(x)|+c$ [/mm] hat. Erweitere den Bruch entsprechend...
Für das 2.Integral, also [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\int\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}\, dx=\frac{1}{2}\cdot{}\int\frac{1}{1-\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}\, [/mm] dx$
substituiere [mm] $z:=\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\frac{dz}{dx}=\frac{-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}=-\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
Damit ist [mm] $dx=-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\, [/mm] dz$
Das setze mal ein, berechne dann das Integral und resubstituiere.
Am Schluss "nur" noch beide Teillösungen zusammensetzen...
Ich hoffe, ich habe mich nicht irgendwo vertippelt....
Vllt. findet ja auch noch jemand anderes eine einfachere Lösung ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
LG
schachuzipus
|
|
|
|
