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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Fr 11.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] \int_{-1}^{1} x\cdot{}\wurzel{1-x^2}\, [/mm] dx. |
Tag Leute,
ich hab erhebliche Probleme beim Berechnen des obigen Integrals.
Ich hatte die Idee das Ganze mittels partieller Integration zu machen, was mich aber auch nicht weitergebracht hat.
Mit welcher Methode komm ich hierbei ans gewünschte Ziel??
Danke schon mal vielmals!!
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Hallo kegel53,
> Bestimmen Sie [mm]\int_{-1}^{1} x\cdot{}\wurzel{1-x^2}\,[/mm] dx.
> Tag Leute,
> ich hab erhebliche Probleme beim Berechnen des obigen
> Integrals.
> Ich hatte die Idee das Ganze mittels partieller
> Integration zu machen, was mich aber auch nicht
> weitergebracht hat.
>
> Mit welcher Methode komm ich hierbei ans gewünschte
> Ziel??
Mit der Methode der Substitution kommst Du hier ans Ziel.
> Danke schon mal vielmals!!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Fr 11.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay danke für den Tipp.
Ich habs inzwischen mit der Substitution [mm] u:=1-x^2 [/mm] und t:=arcsin(x), aber festgestellt, dass die erste gar nicht funktioniert und die zweite ebenfalls nicht zum Ziel führt.
Welche Substitution wäre denn hier am besten geeignet??
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Hallo,
substituier mal [mm] u=\wurzel{1-x^2}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Fr 11.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Aber da krieg ich doch das gleiche Problem wie bei der Substitution [mm] u=1-x^2, [/mm] denn wenn ich das substituier hab ich anstatt den Grenzen -1 und 1 nur noch die Grenezne 0 und 0.
Oder mach ich da was falsch?
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Hallo kegel,
das Problem ist, dass du über eine Nullstelle hinwegintegrierst.
Du musst eigentlich gar nichts rechnen.
Schaue dir mal den Integranden an:
[mm] $f(x)=x\cdot{}\sqrt{1-x^2}$
[/mm]
Es ist [mm] $f(-x)=\ldots=-f(x)$ [/mm] (rechne das nach)
Also ist $f$ eine ungerade Funktion.
Und die sollst du über ein um 0 symmetrisches Intervall integrieren...
Was kommt also heraus? (Ohne Rechnung ...)
Du kannst ja mal die Grenzen weglassen und mit der vorgeschlagenen Substitution die allg. Stammfunktion berechnen und dann resubstituieren und die alten Grenzen einsetzen.
Ist aber mit dem oben Gesagten viel zuviel Aufwand 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Fr 11.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ahja stimmt durch die Punktsymmetrie wird das ganze natürlich erheblich vereinfacht :). Vielen Dank für den Hinweis.
Aber trotzdem nochmal die Frage wie das Integral mitsamt Grenzen nach der Substitution aussehen würde?!
[mm] \int_{-1}^{1} x\cdot{}\wurzel{1-x^2}\, dx=\int_{0}^{0} -u^2\, [/mm] du
Wär das richtig??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Fr 11.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit reverends Tip, solltest du nichts rechnen.
aber man sollte wissen:
[mm] f'(x)*\wurzel{f(x)} [/mm] hat die Stammfkt [mm] f(x)^{3/2}
[/mm]
bis auf Zahlenfaktoren hast du so ein Integral!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Fr 11.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
D.h. ich hab richtig substituiert und das Integral ist nach der Substitution wirklich [mm] \int_{0}^{0} -u^2\, [/mm] du ??
Das würd ich nur noch gern wissen :).
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Hallo nochmal,
> D.h. ich hab richtig substituiert und das Integral ist nach
> der Substitution wirklich [mm]\int_{0}^{0} -u^2\,[/mm] du ??
Ja, die Grenzen und auch den Integranden hast du richtig bechnet.
Wenn du "nur" eine unbestimmte Stammfkt. suchst, ist ja [mm] $\int{-u^2 \ du}$ [/mm] nun schnell berechnet und ebenso schnell ist's zurücksubstituiert in x.
Welche Stammfunktion (ohne Grenzen) (und in x) erhältst du denn?
>
> Das würd ich nur noch gern wissen :).
Nun weißt du's ja
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Fr 11.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar, dann weiß ich Bescheid :).
Herzlichen Dank für die Antwort auch an alle anderen Beteiligten nochmals Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Fr 11.06.2010 | | Autor: | isi1 |
Kann man nicht die Substitution wieder rückgängig machen, bevor man die Grenzen einsetzt, kegel?
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