partielle Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Berechnen sie die folgenden Integrale mit partieller Integration
[mm] c)\integral_{0}^{2\pi} [/mm] sin(3x)cos(2x) dx
[mm] d)\integral_{0}^{t} sin^{2}(x) [/mm] dx |
Hallo
zu c) :
[mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] sin(3x)cos(2x) dx
[mm] =0-\bruch{-3}{2}([cos(3x)*\bruch{-1}{2}cos(2x)] [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi} [/mm] 3*(-1)sind(3x)*cos(2x) dx
bis dahin verstehe ich es noch.aber den nächsten Zwischenschritt nicht mehr...
[mm] =\bruch{-3}{2}*\bruch{-3}{2}\integral_{0}^{2\pi} [/mm] sind(3x)*cos(2x) dx
und zwar wie kommt man den auf [mm] \bruch{-3}{2}*\bruch{-3}{2} [/mm] ???
der Bereich ist ja von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] und wenn ich selber da die Klammer [mm] ([cos(3x)*\bruch{-1}{2}cos(2x)] [/mm] auflöse in diesem Bereich steht da dann in der Klammer [-0.5-(-0.5)] und das ergibt ja dann in der Klammer für mich 0 und wenn das dann mit [mm] \bruch{-3}{2} [/mm] multiplizieren würde natürlich auch 0. also für bei mir im nächsten Schritt nur noch einmal [mm] \bruch{-3}{2} [/mm] das stehen?? wo liegt da mein Denkfehler????
der nächste Schritt ist dann:
[mm] =\bruch{9}{4} \integral_{0}^{2\pi} [/mm] sind(3x)*cos(2x) dx dann steht ja bis auf die 9/4 wieder genau das was am anfang auch da stand^^
in der Lösung schreiben die dann noch ( versteh ich auch noch nicht,, wär nett wenn mir auch davon jemand den Sinn erklären könnte oder wie man darauf kommt)
--> [mm] (1-\bruch{9}{4}) \integral_{0}^{2\pi} [/mm] sind(3x)*cos(2x)=0
--> [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] sind(3x)*cos(2x)=0
wieso gleich 0 und wo ist das [mm] 1-\bruch{9}{4} [/mm] hin? hä :) hilfeee
d)
bei d) versteh ich auch ein Zwischenschritt nicht.. und zwar:
[mm] d)\integral_{0}^{t} sin^{2}(x) [/mm] dx
=[-cos(x) *sin(x)] + [mm] \integral_{0}^{t} [/mm] cos(x)*cos(x) dx noch logisch bis hier hin. jetzt aber gleich nicht mehr ..
= -cos(t)*sind(t) +t-t + [mm] \integral_{0}^{t} cos^{2}(x) [/mm] dx
wieso ergänzt man das jetzt mit -t + t
= -cos(t)*sind(t) +t- [mm] \integral_{0}^{t} 1-cos^{2}(x) [/mm] dx
die 2 schritte verstehe ich nicht, was ist das für eine Regel? auf einmal steht nur noch +1- vor dem Integral und im Integral [mm] 1-cos^{2}(x) [/mm] dx ????
wäre nett wenn sich einer bereit erklären würde meinen ganzen Quatsch durchzulesen und mir weiter helfen könnte, wenn möglich in einem sehr einfachen Verständnislage für Dummies ;)
Gruß
|
|
| |
|
Hallo Roffel,
keep cool. So schlimm ist es gar nicht. 
> Berechnen sie die folgenden Integrale mit partieller
> Integration
>
> [mm]c)\integral_{0}^{2\pi}[/mm] sin(3x)cos(2x) dx
Hm. Bei diesen Integrationsgrenzen könnte man auch so schon darauf kommen, dass das Ergebnis 0 lauten wird. Betrachte mal die Periodizität der enthaltenen Teilfunktionen.
> [mm]d)\integral_{0}^{t} sin^{2}(x)[/mm] dx
> Hallo
>
> zu c) :
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] sin(3x)cos(2x) dx
>
> [mm]=0-\bruch{-3}{2}([cos(3x)*\bruch{-1}{2}cos(2x)][/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}[/mm] 3*(-1)sind(3x)*cos(2x) dx
> bis dahin verstehe ich es noch.
Ach ja? Das soll nach partieller Integration aussehen, aber dann stimmt es doch nicht.
> aber den nächsten
> Zwischenschritt nicht mehr...
> [mm]=\bruch{-3}{2}*\bruch{-3}{2}\integral_{0}^{2\pi}[/mm]sin(3x)*cos(2x) dx
> und zwar wie kommt man den auf [mm]\bruch{-3}{2}*\bruch{-3}{2}[/mm]
> ???
> der Bereich ist ja von 0 bis [mm]2\pi[/mm] und wenn ich selber da
> die Klammer [mm]([cos(3x)*\bruch{-1}{2}cos(2x)][/mm] auflöse in
> diesem Bereich steht da dann in der Klammer [-0.5-(-0.5)]
> und das ergibt ja dann in der Klammer für mich 0 und wenn
> das dann mit [mm]\bruch{-3}{2}[/mm] multiplizieren würde natürlich
> auch 0. also für bei mir im nächsten Schritt nur noch
> einmal [mm]\bruch{-3}{2}[/mm] das stehen?? wo liegt da mein
> Denkfehler????
Bei Dir sehe ich keinen. Eher in der Musterlösung...
> der nächste Schritt ist dann:
> [mm]=\bruch{9}{4} \integral_{0}^{2\pi}[/mm] sind(3x)*cos(2x) dx
> dann steht ja bis auf die 9/4 wieder genau das was am
> anfang auch da stand^^
Ja, das ist die Idee. Zweimal partiell integrieren, und man hat eine Gleichung, in der wieder das Ausgangsintegral dasteht (bei [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] jedenfalls), so dass man das ganze Integral wie eine einzige Variable betrachten kann.
> in der Lösung schreiben die dann noch ( versteh ich auch
> noch nicht,, wär nett wenn mir auch davon jemand den Sinn
> erklären könnte oder wie man darauf kommt)
>
> --> [mm](1-\bruch{9}{4}) \integral_{0}^{2\pi}[/mm]sind(3x)*cos(2x)=0
> --> [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] sind(3x)*cos(2x)=0
> wieso gleich 0 und wo ist das [mm]1-\bruch{9}{4}[/mm] hin? hä :)
Na, da werden die beiden Ergebnisse aus den beiden Schritten der partiellen Integration zu einer Gleichung zusammengebastelt. Die Werte sind m.E. aber falsch.
Und dass der Faktor vor der Klammer verschwindet, ist einfach die Anwendung der Regel, dass ein Produkt nur dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Daher muss das Integral den Wert Null haben.
> hilfeee
>
> d)
> bei d) versteh ich auch ein Zwischenschritt nicht.. und
> zwar:
> [mm]d)\integral_{0}^{t} sin^{2}(x)[/mm] dx
> =[-cos(x) *sin(x)] + [mm]\integral_{0}^{t}[/mm] cos(x)*cos(x) dx
> noch logisch bis hier hin. jetzt aber gleich nicht mehr ..
> = -cos(t)*sind(t) +t-t + [mm]\integral_{0}^{t} cos^{2}(x)[/mm] dx
> wieso ergänzt man das jetzt mit -t + t
> = -cos(t)*sind(t) +t- [mm]\integral_{0}^{t} 1-cos^{2}(x)[/mm] dx
> die 2 schritte verstehe ich nicht, was ist das für eine
> Regel? auf einmal steht nur noch +1- vor dem Integral und
> im Integral [mm]1-cos^{2}(x)[/mm] dx ????
Da steht nur noch +t vorm Integral. Ansonsten rechne doch mal von hier aus rückwärts, dann siehst Du's:
Da ist eine fette (oder nahrhafte) Null hinzugefügt worden, damit man den einen Teil davon eben ins Integral ziehen kann, hier also das -t. In diesem Fall ist es etwas mühsam zu sehen, aber der im Integral eingefügte Summand 1 liefert ja zusätzlich zum bisherigen Integral nur das Ergebnis x (in den Grenzen 0 bis t), damit also t, und mit dem Minus vorm Integral schließlich -t.
Das scheint mir hier aber unnötige Trickrechnerei zu sein. Wie vorher hätte auch hier eine zweite partielle Integration zum selben Ergebnis geführt.
> wäre nett wenn sich einer bereit erklären würde meinen
> ganzen Quatsch durchzulesen und mir weiter helfen könnte,
> wenn möglich in einem sehr einfachen Verständnislage für
> Dummies ;)
Hab ich versucht. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Roffel |
DANKE DANKE Reverend!!!
> > [mm]c)\integral_{0}^{2\pi}[/mm] sin(3x)cos(2x) dx
>
> Hm. Bei diesen Integrationsgrenzen könnte man auch so
> schon darauf kommen, dass das Ergebnis 0 lauten wird.
> Betrachte mal die Periodizität der enthaltenen
> Teilfunktionen.
wie ist da der Gedankengang?? kann man da drauf kommen weil der sin(0)=0 ist und das produkt dann natürlich auch 0 lautet oder wie kommt man zu dieser frühen Annahme??
= [mm] 0-\bruch{-3}{2}[cos(3x)*(\bruch{-1}{2}cos(2x)] [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi} [/mm] 3*(-1)sind(3x)*cos(2x) dx
> Ach ja? Das soll nach partieller Integration aussehen, aber
> dann stimmt es doch nicht.
echt ? hm k. was ist da falsch?
> > und zwar wie kommt man den auf
> [mm]\bruch{-3}{2}*\bruch{-3}{2}[/mm]
> > ???
>
>
> Bei Dir sehe ich keinen. Eher in der Musterlösung...
ah echt? schön^^, dann hätte ich Recht das da nur einmal [mm] \bruch{-3}{2} [/mm] vor dem Integral stehen dürfte???
> > der nächste Schritt ist dann:
> > [mm]=\bruch{9}{4} \integral_{0}^{2\pi}[/mm] sind(3x)*cos(2x) dx
> > dann steht ja bis auf die 9/4 wieder genau das was am
> > anfang auch da stand^^
>
> Ja, das ist die Idee. Zweimal partiell integrieren, und man
> hat eine Gleichung, in der wieder das Ausgangsintegral
> dasteht (bei [mm]\sin[/mm] und [mm]\cos[/mm] jedenfalls), so dass man das
> ganze Integral wie eine einzige Variable betrachten kann.
ah ok danke. okay ich habe ja auch 2 mal partiell integriert. aber sagt mir denn das genau das wenn ich 2 mal partiell integriere und dann "fast" das gleiche wie davor dasteht?
> > --> [mm](1-\bruch{9}{4}) \integral_{0}^{2\pi}[/mm]sind(3x)*cos(2x)=0
>
> > --> [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] sind(3x)*cos(2x)=0
> > wieso gleich 0 und wo ist das [mm]1-\bruch{9}{4}[/mm] hin? hä :)
>
> Na, da werden die beiden Ergebnisse aus den beiden
> Schritten der partiellen Integration zu einer Gleichung
> zusammengebastelt. Die Werte sind m.E. aber falsch.
wo kommt überhaupt die 1 vor dem [mm] \bruch{9}{4} [/mm] her??
> Und dass der Faktor vor der Klammer verschwindet, ist
> einfach die Anwendung der Regel, dass ein Produkt nur dann
> Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
> Daher muss das Integral den Wert Null haben.
ok. das mit der 0 Regel verstehe ich, aber im Prinzip hab ich doch jetzt überhaupt nich integriert oder? bin grad bissel verwirrt... wieso kann man unten einfach schreiben, dass das Integral 0 ist von [mm] \integral_{0}^{2\pi}[/mm] [/mm] sind(3x)*cos(2x) ??? sry wenn ich es grad einfach nicht raffe :(
> > wieso ergänzt man das jetzt mit -t + t
> > = -cos(t)*sind(t) +t- [mm]\integral_{0}^{t} 1-cos^{2}(x)[/mm] dx
> > die 2 schritte verstehe ich nicht, was ist das für eine
> > Regel? auf einmal steht nur noch +1- vor dem Integral und
> > im Integral [mm]1-cos^{2}(x)[/mm] dx ????
>
> Da steht nur noch +t vorm Integral. Ansonsten rechne doch
> mal von hier aus rückwärts, dann siehst Du's:
Rückwärts? wie meinst du das, seh das irgendwie leider nicht....
>
> Da ist eine fette (oder nahrhafte) Null hinzugefügt
> worden, damit man den einen Teil davon eben ins Integral
> ziehen kann, hier also das -t. In diesem Fall ist es etwas
> mühsam zu sehen, aber der im Integral eingefügte Summand
> 1 liefert ja zusätzlich zum bisherigen Integral nur das
> Ergebnis x (in den Grenzen 0 bis t), damit also t, und mit
> dem Minus vorm Integral schließlich -t.
ok. das ist mir jetzt auch nicht so klar, aber das sei mal dahin gestellt :)
>
> Das scheint mir hier aber unnötige Trickrechnerei zu sein.
> Wie vorher hätte auch hier eine zweite partielle
> Integration zum selben Ergebnis geführt.
du meinst ich soll bei [mm] \integral_{0}^{t} cos^{2}(x) [/mm] dx nochmal [mm] cos^{2}(x)partiell [/mm] integrieren ??
ganz am schluss der AUfgabe steht dann auch wieder :
--> 2 [mm] \integral_{0}^{t} sin^{2}(x) [/mm] dx = -cos(t) sind(t) + t
--> [mm] \integral_{0}^{t} sin^{2}(x) [/mm] dx = t/2 - [mm] \bruch{-cos(t) sind(t)}{2}
[/mm]
woher kommt denn auf einmal die 2 und was sollen mir diese 2 gleichungen am schluss noch sagen bzw. wie kommt man darauf??
> Hab ich versucht.
hast du wirklich danke dir ;)
vlt versuchste es ja nochmal :) wär toll ;)
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 So 24.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast am anfang ein Integral stehen, das du bestimmen willst. krz das mal mit A ab.
dann integrierst du 2 mal partielldann hast du nen längeren Ausdruck und wieder das ürsprüngliche Integral mit 9/4 davor also steht da:
A=Zwischenteil +9/4*A
daraus folgt :
A-9/4A=Zwischenteil
(1-9/4)*A= Zwischenteil. Wenn der zwischenteil =0 ist folgt daraus A=0
sonst Zwischenteil/(1-9/4)=A
entsprechend bei der anderen Aufgabe
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi
leider versteh ich das immer noch nicht so ganz wie man als Ergebnis durch 2-maliges partiell integrieren einfach auf 0 am schluss kommt...
ich hab die aufgabe zu c) :
$ [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] $ sin(3x)cos(2x) dx
auch 2 mal partiell integriert und dann steht da bei mir :
[mm] -\bruch{3}{2}\integral_{a}^{b}{sind(3x)*cos(2x) dx}
[/mm]
und kann mir einer bitte jetzt mal ganz ausführlich und für Dummies erklären wie jetzt davon das Ergebnis 0 zu stande kommt ? :) :(
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo
nach der 1. partiellen Integration bekommst du:
u=sin(3x)
u'=3*cos(3x)
v'=cos(2x)
[mm] v=\bruch{1}{2}sin(2x)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}=sin(3x)*\bruch{1}{2}sin(2x)-\integral_{}^{}{3*cos(3x)*\bruch{1}{2}sin(2x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}=sin(3x)*\bruch{1}{2}sin(2x)-\bruch{3}{2}\integral_{}^{}{cos(3x)*sin(2x) dx}
[/mm]
jetzt erneut partielle Integration mit dem Integral auf der rechten seite der Gleichung
u=cos(3x)
u'=-3*sin(3x)
v'=sin(2x)
[mm] v=-\bruch{1}{2}cos(2x)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}=sin(3x)*\bruch{1}{2}sin(2x)-[\bruch{3}{2}*(cos(3x)*(-\bruch{1}{2})cos(2x)-\integral_{}^{}{-3*sin(3x)*(-\bruch{1}{2})cos(2x) dx})]
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}=sin(3x)*\bruch{1}{2}sin(2x)-[\bruch{3}{2}*(cos(3x)*(-\bruch{1}{2})cos(2x)-\integral_{}^{}{3*sin(3x)*\bruch{1}{2}cos(2x) dx})]
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}=\bruch{1}{2}sin(3x)*sin(2x)+\bruch{3}{4}cos(3x)*cos(2x)+\bruch{9}{4}\integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}
[/mm]
jetzt minus [mm] \bruch{9}{4}\integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx} [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung
[mm] -\bruch{5}{4}\integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}=\bruch{1}{2}sin(3x)*sin(2x)+\bruch{3}{4}cos(3x)*cos(2x)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}=-\bruch{2}{5}sin(3x)*sin(2x)-\bruch{3}{5}cos(3x)*cos(2x)
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Dankeschön für die ausfürhrliche Antwort.
> jetzt minus [mm]\bruch{9}{4}\integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}[/mm]
> auf beiden Seiten der Gleichung
>
> [mm]-\bruch{5}{4}\integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}=\bruch{1}{2}sin(3x)*sin(2x)+\bruch{3}{4}cos(3x)*cos(2x)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(3x)*cos(2x) dx}=-\bruch{2}{5}sin(3x)*sin(2x)-\bruch{3}{5}cos(3x)*cos(2x)[/mm]
und was ist da jetzt die Lösung genau?^^
das Integral hat ja als lösung 0, aber wie komm da denn jetzt auf die 0?
und ich hab nach der ersten partiellen Integration das raus bekommen:
$ [mm] 0-\bruch{-3}{2}[cos(3x)\cdot{}(\bruch{-1}{2}cos(2x)] [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi} [/mm] $ 3*(-1)sind(3x)*cos(2x) dx
wenn ich da weiter mache kommt man aber nicht auf 9/4 oder? weil [mm] 0-\bruch{-3}{2}[cos(3x)\cdot{}(\bruch{-1}{2}cos(2x)] [/mm] das ergibt doch in der klammer 0 und 0 mal [mm] \bruch{-3}{2} [/mm] ist ja auch wieder 0, also würde bei mir ja nur noch einmal [mm] \bruch{-3}{2} [/mm] da stehen? wo ist da der Fehler falls es einer ist`??
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mo 25.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast jetzt das allgemeine Integral hingeschrieben, jetzt musst du die Grenzen eben einsetzen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi
ist das dann also schon aufgeleitet bzw. integriert?
$ [mm] (1-\bruch{9}{4}) \integral_{0}^{2\pi} [/mm] $ sind(3x)*cos(2x) dx =0
weil man ja die schranken erst nach dem "aufleiten" einsetzt dachte ich und wenn man integriert hätte dachte ich schreib man das dann mit diesen Klammern [ ] und ohne dx?
klar wenn man einsetzt in sind(3x)*cos(2x) wird das 0 und das Produkt 0 mit z.b. hier 9/4 ist ja dann auch 0 und deshalb ist das Integral 0 ?
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo, verwende bitte nicht "aufleiten", du hast die Stammfunktion berechnet
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(3x)*cos(2x) dx}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2}{5}*sin(3x)*sin(2x)-\bruch{3}{5}*cos(3x)*cos(2x)\vmat{ 2\pi \\ 0 }
[/mm]
[mm] =-\bruch{2}{5}*sin(6\pi)*sin(4\pi)-\bruch{3}{5}*cos(6\pi)*cos(4\pi)-(-\bruch{2}{5}*sin(0)*sin(0)-\bruch{3}{5}*cos(0)*cos(0))
[/mm]
[mm] =0-\bruch{3}{5}-(0-\bruch{3}{5})
[/mm]
=0
wie schon gesagt, viel schneller geht es über die Periode
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
ah ok, danke Steffi!
>
> wie schon gesagt, viel schneller geht es über die Periode
was meinst du den damit? welcher Rechenweg wäre das?
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo Roffel,
> ah ok, danke Steffi!
>
>
> >
> > wie schon gesagt, viel schneller geht es über die Periode
>
> was meinst du den damit? welcher Rechenweg wäre das?
Hier sind wohl eher die Symmetrieeigenschaften des Integranden
im Intervall [mm]\left[0,2\pi\right][/mm] gemeint.
>
> Grüße
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
