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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Di 27.09.2005 | | Autor: | scratchy |
Hallo,
ich habe wieder einmal ein partielle Integration die nicht so ganz hinhaut
[mm] \integral{arctanx dx}
[/mm]
u(x)=arctanx, u'(x)= [mm] \bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
v(x)=x, v'(x)=1
[mm] \integral{arctanx dx} [/mm] = arctanx * x - [mm] \integral {\bruch{1}{1+x^{2}} * xdx}
[/mm]
[mm] \integral {\bruch{1}{1+x^{2}} * xdx} [/mm] wiederum:
u(x)=x, u'(x)=1
v(x)=arctanx, v'(x)= [mm] \bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
[mm] \integral {\bruch{1}{1+x^{2}} * xdx} [/mm] = x * arctanx - [mm] \integral{arctanx dx}
[/mm]
somit ist:
[mm] \integral{arctanx dx} [/mm] = arctanx * x - (x * arctanx - [mm] \integral{arctanx dx})
[/mm]
[mm] \integral{arctanx dx} [/mm] = arctanx * x - x * arctanx + [mm] \integral{arctanx dx})
[/mm]
das wäre 0=0 ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Di 27.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo scratchy!
> [mm]\integral{arctanx dx}[/mm]
>
> u(x)=arctanx, u'(x)= [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
> v(x)=x, v'(x)=1
>
> [mm]\integral{arctanx dx}[/mm] = arctanx * x - [mm]\integral {\bruch{1}{1+x^{2}} * xdx}[/mm]
Bis hierher alles richtig!
Und nun sehen wir uns mal den neuen Bruch etwas genauer an:
[mm] $\integral{x*\bruch{1}{1+x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{x}{1+x^2} \ dx}$
[/mm]
Da steht ja fast die Ableitung des Nenners als Zähler, wir müssen hier lediglich mit $2_$ erweitern:
$... \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{2}*\bruch{2x}{1+x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{2x}{1+x^2} \ dx}$
[/mm]
Kennst Du nun eine Methode, derartige Brüche zu integrieren, wenn im Zähler exakt die Ableitung des Nenners auftritt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Di 27.09.2005 | | Autor: | scratchy |
Hallo Loddar,
danke für den Tipp
[mm] =\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral{\bruch{2x}{1+x^{2}}}
[/mm]
ich setze [mm] 1+x^2 [/mm] = u, dann ist [mm] \bruch{du}{dx}= [/mm] 2x und dx = [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral{\bruch{2xdu}{2xu}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} [/mm] * ln|u|
[mm] =\bruch{ln(1+x^{2})}{2}
[/mm]
das ganze Integral ist dann arctanx*x - [mm] \bruch{ln(1+x^{2})}{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Di 27.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo scratchy!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genauso geht's ...
Man kann sich auch kürzer merken für Brüche, die exakt die Ableitung des Nenners im Zähler haben:
[mm] $\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left|f(x)\right| [/mm] \ + \ C$
Gruß
Loddar
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