partikulärer Ansatz DGL < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mi 11.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
hänge ein wenig an folgender Aufgabe:
y'+ [mm] \bruch{y}{1+x}=e^{2x}
[/mm]
ich habe dann den homogenen Teil bestimmt:
[mm] y_{h}=C_{1}+e^{-ln(1+x)}=C_{1}+ \bruch{1}{1+x}
[/mm]
und für den partikulären Teil folgenden Ansatz
gewählt:
[mm] y_{p}=C_{2}*x*e^{2x}
[/mm]
[mm] y_{p} [/mm] ' = [mm] (2*C_{2}*x+C_{2})*e^{2x}
[/mm]
Und an dieser Stelle hänge ich jetzt. Ist der partikuläre Ansatz
richtig gewählt? Und wie rechne ich hier am besten weiter?
Vielen Dank für's Antworten
Kruder77
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Hallo kruder77,
> [mm]y_{h}=C_{1}+e^{-ln(1+x)}=C_{1}+ \bruch{1}{1+x}[/mm]
Ich habe hier [mm]y_{h}= \bruch{C_{1}}{1+x}[/mm] herausbekommen
>
> und für den partikulären Teil folgenden Ansatz
> gewählt:
>
> [mm]y_{p}=C_{2}*x*e^{2x}[/mm]
> [mm]y_{p}[/mm] ' = [mm](2*C_{2}*x+C_{2})*e^{2x}[/mm]
>
> Und an dieser Stelle hänge ich jetzt. Ist der partikuläre
> Ansatz
> richtig gewählt? Und wie rechne ich hier am besten
> weiter?
Ich denke hier hilft die Variation der Konstanten weiter.
[mm]\begin{array}{l}
y_{p} \; = \;\frac{{C(x)}}{{1\; + \;x}} \\
y_{p} '\; = \;\frac{{C'(x)\;\left( {1\; + \;x} \right)\; - \;C(x)}}{{1\; + \;x}} \\ \end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 11.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo MathePower,
> Ich habe hier [mm]y_{h}= \bruch{C_{1}}{1+x}[/mm] herausbekommen
Ja, sorry hatte aus versehen plus anstatt mal gepostet (bin ein wenig verplant heute)
> Ich denke hier hilft die Variation der Konstanten weiter.
>
> [mm]\begin{array}{l}
y_{p} \; = \;\frac{{C(x)}}{{1\; + \;x}} \\
y_{p} '\; = \;\frac{{C'(x)\;\left( {1\; + \;x} \right)\; - \;C(x)}}{{1\; + \;x}} \\ \end{array}[/mm]
ok, habe ich gemacht bekommen dann mit :
[mm] y_{p}(x)=c(x)* \bruch{1}{1+x}
[/mm]
[mm] y_{p}'(x)= \bruch{c'(x)}{1+x}- \bruch{c(x)}{(1+x)^2}
[/mm]
Setze dies dann ein wobei sich dadurch [mm] -\bruch{c(x)}{(1+x)^2} [/mm] rauskürzt
und ich auf den Term [mm] \bruch{c'(x)}{1+x}=e^{2x} [/mm] komme. Dies habe ich dann integriert und in [mm] y_{p} [/mm] eingesetzt:
[mm] y_{p}(x)=(( \bruch{x}{2}+ \bruch{1}{4})*e^{2x})* \bruch{1}{1+x}= \bruch{(2x+1)*e^(2x)}{4x+1}
[/mm]
Daraus habe ich dann die allgemeine Lösung:
y(x)= [mm] C_{1}* \bruch{1}{x+1}+ \bruch{(2x+1)*e^(2x)}{4x+1}
[/mm]
erhalten. Ist das soweit alles korrekt oder habe ich einen Fehler oder etwas vergessen?
Gruß Kruder77
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Hallo kruder77,
> Daraus habe ich dann die allgemeine Lösung:
>
> y(x)= [mm]C_{1}* \bruch{1}{x+1}+ \bruch{(2x+1)*e^(2x)}{4x+1}[/mm]
>
> erhalten. Ist das soweit alles korrekt oder habe ich einen
> Fehler oder etwas vergessen?
Bei dem letzten Bruch sind die Klammern im Nenner vergessen worden, ansonsten stimmt die Lösung.
y(x)= [mm]C_{1}* \bruch{1}{x+1}+ \bruch{(2x+1)*e^{2x}}{4\;(x+1)}[/mm]
Gruß
MathePower
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