$\phi$-Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie mit stochastischen Mitteln die Formel
[mm]\frac{\varphi(n)}{n}=\prod\limits_{j=1}^k\left(1-\frac{1}{p_j}\right)[/mm] für [mm]n\in\IN, n=p_1^{\alpha_1}\cdot{}\ldots p_k^{\alpha_k}[/mm]
Hinweis: wie hängt die gesuchte Größe mit den Ereignissen [mm]A_j:=\{m\le n \ : \ p_j\mid m\}[/mm] zusammen? |
Hallo zusammen,
diese bekannte Formel aus der Zahlentheorie ist mit elementaren Mitteln der ZT leicht zu beweisen (bzw. zu folgern).
Aber wie soll das bitte mit stochastischen Mitteln gehen?
Habe leider überhaupt keinen Ansatz.
Kann mich jemand in die richtige Richtung pushen?
Besten Dank vorab!
Gruß
schachuzipus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo schachuzipus,
> Beweisen Sie mit stochastischen Mitteln die Formel
>
> [mm]\frac{\varphi(n)}{n}=\prod\limits_{j=1}^k\left(1-\frac{1}{p_j}\right)[/mm]
> für [mm]n\in\IN, n=p_1^{\alpha_1}\cdot{}\ldots p_k^{\alpha_k}[/mm]
>
> Hinweis: wie hängt die gesuchte Größe mit den
> Ereignissen [mm]A_j:=\{m\le n \ : \ p_j\mid m\}[/mm] zusammen?
> Hallo zusammen,
>
> diese bekannte Formel aus der Zahlentheorie ist mit
> elementaren Mitteln der ZT leicht zu beweisen (bzw. zu
> folgern).
>
> Aber wie soll das bitte mit stochastischen Mitteln gehen?
>
> Habe leider überhaupt keinen Ansatz.
>
> Kann mich jemand in die richtige Richtung pushen?
Du könntest dir einen Laplace-Raum hernehmen mit [mm] $\Omega=\{1,\ldots,n\}$.
[/mm]
Dann könntest du folgendes Ereignis betrachten:
[mm] $E:=\{m\le n\ :\ \ggT(m,n)=1\}$. [/mm] Klar: Dieses Ereignis besteht aus allen Zahlen [mm] $\le [/mm] n$, zu denen $n$ teilerfremd ist.
Per Definition der [mm] Eulerschen-$\varphi$-Funktion [/mm] gilt natürlich [mm] $|E|=\varphi(n)$, [/mm] also für die W'keit:
[mm] $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{\varphi(n)}{n}$
[/mm]
Das sieht ja schon mal verdächtig nach der linken Seite aus 
Jetzt musst du nur noch überlegen, wie sich das Ereignis $E$ mit Hilfe der [mm] $A_j$ [/mm] darstellen lässt...
Viel Spaß  ,
Marc
|
|
|
| |
|
Hallo Marc,
besten Dank für deine Antwort!
Liebe Grüße
schachuzipus
|
|
|
|
