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| Aufgabe | sei g(x) element von Z[X] und habe in diesem ring teiler, d.h. ist darstellbar als
s(x)*g(x) mit s(x),g(x) element von Z[X]. g(x) habe grad n.
1.dann gilt:o.E. grad(t(x)) <=(1/2)*n
2.seien [mm] z_1,...,z_0 [/mm] paarw.versch. ganze Zahlen, welche werte kann dann [mm] t(z_i) [/mm] nur annhemen? |
1. ist trivial, ich bitte um einen tipp bei 2. denn man kann damit anscheinend folgern dass g(x) in endlich vielen schritten faktorisierbar ist (als hinweis steht hier lagrange-interpolation).ferner kann ich-wenn ichs dann wüsste- bei einer anderen aufgabe dies auf konkrete polynome und ihre eventuelle zerlegung anwenden.
d.h. das zieht nen ziehmlichen rattenschwanz nach sich...
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ich habe die frage in keinem anderen forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:28 Mo 27.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> sei g(x) element von Z[X] und habe in diesem ring teiler,
> d.h. ist darstellbar als
> s(x)*g(x) mit s(x),g(x) element von Z[X]. g(x) habe grad
> n.
Zwei der vier $g(x)$ sollen $t(x)$ sein, oder?
>
> 1.dann gilt:o.E. grad(t(x)) <=(1/2)*n
> 2.seien [mm]z_1,...,z_0[/mm] paarw.versch. ganze Zahlen, welche
> werte kann dann [mm]t(z_i)[/mm] nur annhemen?
Wieviele Werte sind das? Nur [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_0$? [/mm] Oder noch mehr?
Ein Tipp: [mm] $t(z_i)$ [/mm] muss natuerlich [mm] $g(z_i)$ [/mm] teilen. Vielleicht hilft dir das ja weiter...
> 1. ist trivial, ich bitte um einen tipp bei 2. denn man
> kann damit anscheinend folgern dass g(x) in endlich vielen
> schritten faktorisierbar ist (als hinweis steht hier
> lagrange-interpolation).
Wie meinst du das mit ``in endlich vielen Schritten faktorisierbar''?
LG Felix
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sorry es muss natürlich heißen [mm] z_1 [/mm] bis [mm] z_m [/mm] und dann i element {1,...,m} .
mit faktorisierbar usw. meinte ich dass man dann prüfen kann ob das polynom reduizel ist und falls ja, dass man das produkt als welches das ausgangspolynom darstellbar ist sukzesive errechnen kann...
grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Mo 27.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> sei g(x) element von Z[X] und habe in diesem ring teiler,
> d.h. ist darstellbar als
> s(x)*t(x) mit s(x),t(x) element von Z[X]. g(x) habe grad
> n.
>
> 1.dann gilt:o.E. grad(t(x)) <=(1/2)*n
> 2.seien [mm]z_1,...,z_m[/mm] paarw.versch. ganze Zahlen, welche
> werte kann dann [mm]t(z_i)[/mm] nur annehmen?
> 1. ist trivial, ich bitte um einen tipp bei 2. denn man
> kann damit anscheinend folgern dass g(x) in endlich vielen
> schritten faktorisierbar ist (als hinweis steht hier
> lagrange-interpolation).ferner kann ich-wenn ichs dann
> wüsste- bei einer anderen aufgabe dies auf konkrete
> polynome und ihre eventuelle zerlegung anwenden.
> d.h. das zieht nen ziehmlichen rattenschwanz nach sich...
Da t(x)|g(x) in [mm] \IZ[x] [/mm] gilt, gilt auch [mm] t(z_i)|g(z_i) [/mm] in [mm] \IZ. g(z_i) [/mm] hat aber für jedes i nur endlich viele Teiler. Also gibt es für die [mm] t(z_i) [/mm] nur endlich viele Möglichkeiten. Für jedes mögliche m-Tupel [mm] (z_1, [/mm] ... , [mm] z_m) [/mm] kannst du mittels Interpolation ein [mm] t_{z_1,...,z_m}(x) [/mm] bestimmen, das diese Werte annimmt, und dann prüfen, ob es g(x) teilt.
Bsp.: g(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + 1, [mm] z_1 [/mm] = -1, [mm] z_2 [/mm] = 0, [mm] z_3 [/mm] = 1;
[mm] g(z_1) [/mm] = 1, [mm] g(z_2) [/mm] = 1, [mm] g(z_3) [/mm] = 3.
Also fange ich mal an mit
t(-1) = -1, t(0) = -1, t(1) = -3
und weiter (lexikographisch)
t(-1) = -1, t(0) = -1, t(1) = -1
t(-1) = -1, t(0) = -1, t(1) = 1
t(-1) = -1, t(0) = -1, t(1) = 3
...
Das Verfahren geht angeblich auf Frobenius zurück und ist natürlich einerseits mühsam, andererseits aber programmierbar.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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